Coloring Torus（Atcoder Grand Contest 030 C）

怎么外国都喜欢考脑筋急转弯……

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题意

输入 $k$，要求构造一个 $n\times n$ 的矩阵（$n$ 自选），使得恰好用 $k$ 中颜色把每个点都染色，并且同一种颜色的格子周围 相邻的每种颜色数量都相同。

比如矩阵中有两个格子的颜色是 $4$，其中一个格子周围有三个（颜色）$3$ 和一个 $1$，那另一个格子周围也得有三个 $3$ 和一个 $1$，但周围颜色的顺序不必相同。

矩阵的第 $1$ 行上面与第 $n$ 行相连，第 $1$ 列左面与第 $n$ 列相连。

$k\le 1000$，且自选的 $n$ 必须属于 $[1,500]$。

题解

先规定一下，颜色从 $1$ 到 $n$ 编号。

首先 $k\le 500$ 时很好做，令 $n=k$，第 $i$ 行全填 $i$ 就行了，所有格的行列相邻状况显然相同，不用说明了吧……

如果 $k\gt 500$，就得考虑奇怪的方法了。

先思考一下，如果 $k$ 是 $4$ 的倍数，我们可以这么填：

比如 $k=8$ 的情况，构造一个 $n=k/4\times 2=4$ 的矩阵，长这样：

$$1\space 2\space 3\space 4$$

$$5\space 6\space 7\space 8$$

$$1\space 2\space 3\space 4$$

$$5\space 6\space 7\space 8$$

这样粗暴且满足题意。

但 $k$ 不是 $4$ 的倍数呢？

我们考虑移位。

要移位的话，说明我们还要借鉴前面的方法，至少所以矩阵的大小暂定为把 $k$ 上取整为 $4$ 的倍数，即 $⌊(k+3)/4⌋\times 2$。

但还不能简单地移位，比如 $k=6$ 时，每两行都填

$$1\space 2\space 3\space 4$$

$$3\space 4\space 5\space 6$$

这样错位后，同一种颜色的格子的左右两格颜色都相同，但上下两格颜色就不一定相同了。

所以我们考虑一种构造，使得同一种颜色的格子的上下左右四格的颜色 在某些意义上关于这种颜色固定。

这就有一个很简单的方法了：规定第 $i$ 行第 $j$ 列的位置的颜色是 $(i+j+1)\mod k$。这样直接满足上述性质。

而且这样构造，还可以使两个颜色的相对位置固定。

比如矩阵有一个位置的颜色是 $1$，它右边位置的颜色是 $2$，那么矩阵中每出现一个 $1$，它右边必有一个 $2$，反之同理，出现一个 $2$，它的左边就必有一个 $1$。

我们称之为相对相邻性。该性质对于任何方向都成立。

可以手玩一下 $k=3,4$ 的情况，发现两个矩阵分别是（其实矩阵不唯一）

$$1\space 2$$

$$2\space 3$$

$$1\space 2$$

$$4\space 3$$

两个矩阵的长宽 $n$ 根据之前说过的式子，可算出都是 $2$。然后发现第二个矩阵的那个 $4$ 模 $n$ 后等于第一个矩阵对应的那个 $2$ ？

我们考虑这是怎么转化过去的。

当 $k=3$ 时，矩阵显然。

把 $k$ 加 $1$，即多了一种要用的颜色，我们把偶数行的 $2$ 换成了 $4$，保留了奇数行的 $2$。

好像就是把奇偶行分类，新加一种颜色时，把偶数行的对应颜色值 $+n$？

但是这个很好证明么？……依然用这个方法，换个大点的矩阵

$k=5,6$ 的情况

$$3\space 4\space 1\space 2$$

$$4\space 5\space 2\space 3$$

$$1\space 2\space 3\space 4$$

$$2\space 3\space 4\space 5$$

$$3\space 4\space 1\space 2$$

$$4\space 5\space 6\space 3$$

$$1\space 2\space 3\space 4$$

$$6\space 3\space 4\space 5$$

两个矩阵的 $n$ 都是 $4$。

其实就是把偶数行的 $2$ 都通过 $+n$，换成了新的颜色 $6$。

然后我们惊奇地发现这个矩阵满足题意。

用上新的颜色的证明就不说了。

那怎么证明每种颜色周围的每种颜色数量都相同？

首先，新搞出来的这种颜色肯定都满足要求，因为在它们之前的颜色就满足要求。

然后，我们考虑它们周围的格子的颜色。

根据我们的构造方式，可以证明，对于任意一个颜色为 $x$ 的格子相邻的某个方向相邻的数，它一定恰好只在所有颜色为 $x$ 的格子的这个方向的相邻位置出现。

这个结论可以根据之前的一段加粗的性质得出。

如果是这样的话，那么周围的格子的颜色对应的所有格子 就必定都作了同样的修改，所以同一种颜色的相邻情况一定还相同。

但是多次修改矩阵后，这个性质还满足吗？

仍然满足，因为修改一次矩阵后任意两种颜色都满足相对相邻性的话，修改两次或更多次矩阵后也满足，就如同第一次修改一样，该性质可传递。

所以 $k$ 不是 $4$ 的倍数时的做法确定了：

确定 $n$（前面说过了）

对于奇数行，$col_{i,j}\space =(\space (r+c)\mod n) +1$

对于偶数行，$col_{i,j}\space =(\space (r+c)\mod n) +n+1$

如果 $col_{i,j}$ 大于 $k$ 就减去 $n$。

其实就是稍微转化一下做法，对于偶数行，编号超过 $n$ 的颜色能放就尽量放。做法的重点是维护构造的相对相邻性。

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int main()
 {
     int k;
     while (scanf("%d", &k) != EOF)
     {
         if (k <= )
         {
             printf("%d\n", k);
             for (int i = ; i <= k; ++i) for (int j = ; j <= k; ++j)
                 printf("%d%c", i, " \n"[j == k]);
         }
         else
         {
             int n = (k + ) /  * ;
             printf("%d\n", n);
             for (int i = ; i <= n; ++i) for (int j = ; j <= n; ++j)
             {
                 int x;
                 if (i & ) x = (i + j) % n;
                 else x = n + (i + j) % n;
                 if (x >= k) x -= n;
                 printf("%d%c", x + , " \n"[j == n]);
             }
         }
     }
     return ;
 }