hihoCoder #1117 战争年代

题目大意

对一棵树的节点染色。初始时每个点都染成颜色 $0$，然后进行 $m$ 轮操作。第 $i$ 轮操作：从 $[0,d_i]$ 中随机选出一个整数 $d$，将距离点 $x_i$ 不超过 $d$ 的点染成颜色 $i$。求最后「同色连通块」的个数的期望。

分析

期望问题的做法一般是

利用期望的线性性将所求的随机变量分解¹

问题的难点正在于写出同色的连通块的个数的表达式。

同色连通块的个数 = 两端点颜色不同的边的数目 + 1 ²

令 $p^{i}[u][v]\ (u<v)$ 表示第 $i$ 轮操作后边 $(u,v)$ 两端颜色不同的概率, $\text{dis}^{i}[u]$ 表示 $x_i$ 与 $u$ 的距离。

则 $$p^{i+1}[u][v] = \frac{\text{dis}^{i+1}[u]}{d_{i+1}+1}p[u][v] + \frac{1}{d_{i+1}+1}$$

Implementation

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e3+5;

double dp[N][N];

vector<int> g[N];

int x, d;

void dfs(int u, int fa, int dis){
    if(dis>d) return;
    for(auto v: g[u])
        if(v!=fa){
            int _u=min(u, v), _v=max(u, v);
            dp[_u][_v]=(dp[_u][_v]*dis+1)/(d+1);
            dfs(v, u, dis+1);
        }
}

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i=1; i<n; i++){
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }

    for(int i=0; i<m; i++){
        cin >> x >> d;
        dfs(x, x, 0);
    }
    double res=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=i+1; j<=n; j++)
            res+=dp[i][j];

    // cout << res+1 << '\n';
    printf("%.10f\n", res+1);
    return 0;
}

Reference

1. 简说期望类问题的解法
2. hihcoder 1117 战争年代 - samjia2000的博客- 博客频道 - CSDN.NET