深入浅出数据结构C语言版（17）——希尔排序

　　在上一篇博文中我们提到：要令排序算法的时间复杂度低于O(n²)，必须令算法执行“远距离的元素交换”，使得平均每次交换减少不止1逆序数。

　　而希尔排序就是“简单地”将这个道理应用到了插入排序中，将插入排序小小的升级了一下。那么，希尔排序是怎么将这个道理应用于插入排序的呢？我们先来回顾一下插入排序的代码：

void InsertionSort(int *a, unsigned int size)
{//StartPos表示执行插入操作的元素开始插入时的下标
   //令StartPos从1递增至size-1，对于每个a[StartPos]，我们执行向前插入的操作
   for (int StartPos = ;StartPos < size;++StartPos)
       for (int CurPos = StartPos;CurPos != ;--CurPos)
           if(a[CurPos - ] > a[CurPos])
              swap(&a[CurPos],&a[CurPos-]);   //令当前元素与前一元素交换
}

　　不难看出，在插入排序中，对于每一个元素，我们都令其执行“向前插入”操作，直至到达顺序位置。但是，在“向前插入”这个操作中，每一次“当前元素”都是与前一元素进行比较，而这也是插入排序时间复杂度没能低于O(n²)的原因。

　　所以，希尔排序与插入排序之间的区别就是：希尔排序在“向前插入”时，“当前元素”总是与前k元素（若当前元素下标为n，则前k元素即下标为n-k的元素）进行比较，并且第一个开始“插队”的元素不再是[1]，而是[k]。从代码角度来说，便是将插入排序的循环改为：

   //StartPos表示执行插入操作的元素开始插入时的下标
   //令StartPos从k递增至size-1，对于每个a[StartPos]，我们执行向前插入的操作
   for (int StartPos = k;StartPos < size;++StartPos)
       for (int CurPos = StartPos;CurPos >= k;CurPos-=k)
           if(a[CurPos - k] > a[CurPos])
              swap(&a[CurPos],&a[CurPos-k]);   //令当前元素与前k元素交换

　　不难看出，插入排序就是k=1的情况。经过上述代码处理后，数据可以保证如下属性：

　　a[n],a[n+k],a[n+2k]……a[n+x*k]有序，其中0=<n<size且n+x*k<size，也就是说：所有相隔距离为k的元素组成的数列都有序（当k为1时即全体有序）

　　举个实例来看看，假设数组如下，间距为3的元素用同色标注：

　　,,,,,,,,,,,,

　　令k=3，进行k=3的“插入排序”后，间距为3的元素互相有序：

　　,,,,,,,,,,,,

　　分析上例可以看出，当k>1时，间距为k的k-插入排序的交换可以实现“远距离交换元素”，上例中，3-的插入排序交换了5次元素，逆序数减少了9，平均一次交换减少了1.8逆序数。

　　同时可以看出，上述属性，只有在k为1时才能保证整个数组有序，也即普通插入排序的情况，而k>1时则不能。也就是说，要想“远距离交换元素”，就要令k>1，而k>1却又不能保证数组最后有序，那该怎么办呢？

　　万幸的是，我们有这么一个定理：

　　若数组已经进行过间距为k的k-插入排序，即已经确定间距为k的元素互相有序，则对数组进行间距为(k-1)的(k-1)-插入排序后，数组依然保持“间距为k的元素互相有序”

　　用大白话来说，就是：虽然k>1的k-插入排序不能保证数组完全有序，但可以保证不增加数组的逆序数。

　　于是，希尔排序的发明者唐纳德·希尔想出了这么一个办法，也就是希尔排序：先进行k比较大的“插入排序”，然后逐步减小k的值，直至k=1。这样一来，希尔排序就能保证最后数组有序。

　　接下来的问题就是，k的初始值该如何选？k又该如何减小至1？这一点至关重要，其重要性类似于哈希函数对于哈希表的意义。我们称k从初始值k_n减小至1的各值：k_n,k_n-1,k_n-2……1组成的序列称为“增量序列”，即“增量”（Increment，意指k的大小）组成的序列。希尔本人推荐的增量序列是初始值为size/2，任一k_n-1=k_n/2。这样一来，使用希尔增量序列的希尔排序完整算法如下：

void ShellSort(int *a, unsigned int size)
{
    unsigned int CurPos, Increment;  //CurPos表示执行插入的元素当下所处的下标，Increment即增量k
    int temp;   //用于暂存当前执行插入操作的元素值，可以减少交换操作

    //Increment从size/2开始，按Increment/=Increment的方式递减至1
    for (Increment = size / ;Increment > ;Increment /= )
        //下方代码与插入排序几乎相同，只是比较对象由[CurPos-1]变为[CurPos-Increment]
        for (unsigned int StartPos = Increment;StartPos < size;++StartPos)
        {
            temp = a[StartPos];
            for (CurPos = StartPos;CurPos >= Increment&&a[CurPos - Increment] > temp;CurPos -= Increment)
                a[CurPos] = a[CurPos - Increment];
            a[CurPos] = temp;
        }
}

　　接下来，我们以希尔增量序列为例，说明为什么增量序列的设定对于希尔排序性能至关重要：

　　设数据为：1,9,2,10,3,11,4,12，则对应增量序列为4,2,1

　　4-插入排序后：1,9,2,10,3,11,4,12

　　2-插入排序后：1,9,2,10,3,11,4,12

　　1-插入排序后：1,2,3,4,9,10,11,12

　　不难发现，这个例子中的增量序列很不好，4-排序和2-排序都没有任何的有效操作。这个例子告诉我们两件事：

　　1.增量序列对于希尔排序的性能非常重要，差的增量序列会减少需要本可以执行的“远距离交换”

　　2.希尔推荐的增量序列编程实现简单，但实际应用中表现并不好，原因在于其增量序列不互素。

　　并且可以确定的是，若需排序的数组a大小n为2的幂，任一x为偶数的a[x]均大于x为奇数的a[x]，且a[x]>a[x-2]，则希尔的增量序列只有在进行1-排序时才有交换操作。

　　举例来说：9,1,10,2,11,3,12,4,13,5,14,6,15,7,16,8。

　　其增量序列为8,4,2,1，但是8-排序、4-排序与2-排序都没有交换元素。

　　此外，若某元素排序前位于下标奇数处，排序后所在位置为i，则进行1-排序前，其位置在2*i+1处（如例中元素4，其下标为奇数，其有序位置应为3，1-排序前位置为7），而将其从位置2*i+1移动至i需要执行i+1次交换，这样的元素（下标奇数）共有n/2个，所以将这些元素移动至正确位置就需要(0+1)+(1+1)+(2+1)+……+(N/2+1)共N²/8-N/4，时间复杂度为O(n²)。可见，使用希尔增量序列希尔排序的最坏情况是O(n²)

　　那么，希尔排序的增量序列该如何选择呢？本文给出两个序列，它们都比希尔增量序列要好：

　　1.Hibbard序列：{1,3,7……2^k-1}，k为大于0的自然数，使用Hibbard序列的希尔排序平均运行时间为θ(n^5/4)，最坏情形为O(n^3/2)。

　　2.Sedgewick序列：令i为自然数，将9*4-9*2+1的所有结果与4-3*2+1的所有结果进行并集运算，所得数列{1,5,19,41,109……}。使用此序列的希尔排序最坏情形为O(n^4/3)，平均情形为O(n^7/6)

　　如何实现这两个序列的希尔排序并不是难事，Hibbard序列可以直接通过计算得出初始值（小于数组大小即可），而后每次令Increment=(Increment-1)/2即可。Sedgewick序列则稍稍麻烦点，需要先将序列计算出足够项（最后一项小于数组大小），而后存于某个数组，再不断从中取出元素作为增量。

　　希尔排序的性能（使用Sedgewick序列）在数据量较大时依然是不错的。如果说插入排序是我们的“初级排序”，用于较少数据或趋于有序数据的情况，那么希尔排序就是我们的“中级排序”，用于数据量偏多的情况。当然，当数据量极大时，我们将用上我们的“高级排序”——快速排序。至于怎么样算数据量偏多，这个就需要因情境而异了，数据的存储形式等都是需要考虑的问题，一般来说数据量为万级时我们使用希尔排序，数据量为十万、百万级时使用快速排序，而数据量为百、千级时插入排序和希尔排序都可以考虑。并且需要再次说明的是，数据越趋于有序，则插入排序越快。从这个角度来说，插入排序也不失为一个“高级排序”。

　　那么，我们学习堆时提到的用堆进行排序的想法，明明有着很好的时间界O(N*logN)，为什么不在考虑之列呢？我们下一篇博文就简单地分析分析。