以8位并行数据为例确定crc-32的一般矩阵表示形式
在进行数据校验时我们会使用到crc（循环冗余校验）校验的方式，例如在以太网通信网络中会对信息进行编码和校验，生成码采用的就是33位的
crc-32：x32+x26+x23+...+x2+x+1; (104c11db7)。循环冗余校验码的计算是模2的除法运算。模2指的是运算的时候不进行借位和进位的操作。可以用下面的例子来说明。假如信息码为11011，生成码为101（2+1）则校验码的计算过程是
先把信息码左移两位（二进制），得1101100。
然后通过异或操作
1101100
101
---------
111100
101
---------
010100
101
--------
00000
这个计算结果为00
假如信信息码为1100时，余码就是01
110000
101
----
010000
101
--------
00100
101
------
001
所以根据上面的运算可以得出任何信息码的余码。
一般使用线性反馈移位寄存器LFSR或(LFSR2)来进行物理实现。这两种方式结构如下：
本篇文章我使用的是LFSR2结构，假如使用LFSR结构需要在先输入n位的0（n是冗余码的位数）。为简单起见推导过程使用的4位信息码，8位的冗余码，生成式为P={p7,p6,p5,p4,p3,p2,p1,p0},初始余码为X0={x0(7),x0(6),x0(5),x0(4),x0(3),x0(2),x0(1),x0(0)}。输入数据D={d3,d2,d1,d0}；
则当输入一位d3时表达式；+表示异或
x1(7)=x0(6)+p7(x0(7)+d3)=p7x0(7)+x0(6)+p7d3;
x1(6)=x0(5)+p6(x0(7)+d3)=p6x0(7)+x0(5)+p6d3;
x1(5)=x0(4)+p5(x0(7)+d3)=p5x0(7)+x0(4)+p5d3;
x1(4)=x0(3)+p4(x0(7)+d3)=p4x0(7)+x0(3)+p4d3;
x1(3)=x0(2)+p3(x0(7)+d3)=p3x0(7)+x0(2)+p3d3;
x1(2)=x0(1)+p2(x0(7)+d3)=p2x0(7)+x0(1)+p2d3;
x1(1)=x0(0)+p1(x0(7)+d3)=p1x0(7)+x0(0)+p1d3;
x1(0)=p0(x0(7)+d3)=p0x0(7)+p0d3;
X1'=FX0'+P'd3;其中
F={ p7,1,0,0,0,0,0,0
p6,0,1,0,0,0,0,0
p5,0,0,1,0,0,0,0
p4,0,0,0,1,0,0,0
p3,0,0,0,0,1,0,0
p2,0,0,0,0,0,1,0
p1,0,0,0,0,0,0,1
p0,0,0,0,0,0,0,0}
同样可以得X2'=FX1'+P'd2;
X3'=FX2'+P'd1;
X4'=FX3'+P'd0;
进而得X4'=F*F*F*F*X0+{F*F*F*P',F*F*P',F*P',P'}*D';
所以输入四位数据时最后余码的状态与初始的状态有关。
对于任意的n位并行信息码Xn=Fn*X0+{F(n-1)p'.....p'}D'。
下面是用表格对8位信息码，32位余码，生成码为0x04c11db7;
参考Excel表格。最后的结果为（左边为低位x0~x31）
以下为在verilog中的验证代码：
module arc_8(input clk,output reg [:] crc);
reg [:]count=;
reg [:] fcs_temp,datatemp2;
reg [:] R ;
reg[:] step=;
reg [:]data_count=;
reg [:] num=;
reg on=;
reg [:] datatemp;
always@(posedge clk)
begin
case(step)
:begin if(on) step<=;else step<=;R<=;end
:begin
if(data_count<)begin // 主要是第一个循环0x60e84e34,验证的结果应该为0x7db9cbc8
case(num)
:begin datatemp<='h60;num<=1;on<=1;end
:begin datatemp <='he8;num<=2;end
:begin datatemp<='h4e;num<=3;end
:begin datatemp<='h34;num<=0;data_count<=data_count+1;end
endcase
step<=;end
else begin on<=; step<=;end end
:begin step<=;
//
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//
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//
fcs_temp[]<=R[]^R[];end :begin step<=;
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datatemp2[]<=datatemp[ ]^datatemp[ ];end :begin R<=fcs_temp^datatemp2; step<=;end
:begin step<=;crc<=~R;end
endcase
end
endmodule
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