BZOJ2004:[HNOI2010]Bus 公交线路(状压DP,矩阵乘法)

Description

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：

1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。

2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和终点站也算被经过）。 

3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。 

4.一辆公交车经过的相邻两个

站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只需求出答案对30031取模的结果。

Input

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。

N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

Output

仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

Sample Input

样例一：10 3 3
样例二：5 2 3
样例三：10 2 4

Sample Output

1
3
81

HINT

【样例说明】

样例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)

样例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5)

P<=10 , K <=8

Solution

显然这个范围是要状压+矩乘……然后我就不会了

因为一个公交车经过的两个相邻的站台之间的距离不超过$p$，所以设$f[i][S]$表示最靠左的车在$i$位置，$i$后面$p$个位置的状态是$S$，其中$S$的某一位是0代表没车，1代表有车。

这相当于我们把这$k$辆车都放到一个长度为$p$的区间内来做。因为车没有编号所以我们并不需要区分。

然后状态数最大只有$C(9,4)$，所以可以预处理出所有状态可以到达的状态然后矩阵转移……$f[i][S]=\sum f[i-1][S']$，其中$S'$状态可以转移到$S$。

初始状态为长度为$p$的区间左边一段都是1，终止状态也是。

Code

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #define MOD (30031)
 using namespace std;

 int n,k,p,S[],cnt,Refun;

 struct Matrix
 {
     int m[][];
     Matrix(){memset(m,,sizeof(m));}
     Matrix operator * (const Matrix b) const
     {
         Matrix ans;
         for (int i=; i<=; ++i)
             for (int j=; j<=; ++j)
                 for (int k=; k<=; ++k)
                     (ans.m[i][j]+=m[i][k]*b.m[k][j])%=MOD;
         return ans;
     }
 }A,G;

 Matrix Qpow(Matrix a,int p)
 {
     Matrix ans;
     for (int i=; i<=; ++i) ans.m[i][i]=;
     while (p)
     {
         if (p&) ans=ans*a;
         a=a*a; p>>=;
     }
     return ans;
 }

 int Get(int x)//二进制下1的数量
 {
     int num=;
     while (x) num+=(x&),x>>=;
     return num;
 }

 bool check(int x,int y)//判断x状态是否能到达y状态
 {
     int now=S[x]<<, tmp=;
     for (int i=; i<p; ++i)
         if ((now&(<<i))!=(S[y]&(<<i))) tmp++;
     return tmp<=;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
     for (int i=<<(p-); i<=(<<p)-; ++i)//强制第一位有车
         if (Get(i)==k)
         {
             S[++cnt]=i;
             if (S[cnt]==(<<p)-(<<p-k)) Refun=cnt;//记录车都在起点/终点的状态
         }
     A.m[][Refun]=;
     for (int i=; i<=cnt; ++i)
         for (int j=; j<=cnt; ++j)
             if (check(i,j)) G.m[i][j]=;
     G=Qpow(G,n-k);
     A=A*G;
     printf("%d\n",A.m[][Refun]);
 }