傅立叶变换系列（五）快速傅立叶变换（FFT）

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说明：

　　傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换、短时傅里叶变换。。。这些理解和应用都非常难，网上的文章有两个极端：“Esay”  Or  “Boring”！如果单独看一两篇文章就弄懂傅里叶，那说明你真的是大神了。

　　本博文是经过查阅网上几十篇大神的博客、文章、书籍等进行的一个汇总，希望对初学者和我自己一个入门和总结，所以本博文并非原创，抄袭+汇总+修改+总结！

主要参考：

　　1.傅里叶变换到小波变换的风趣讲解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818

　　2.一篇外文的翻译者，讲的非常好，本博文大部分基于此大神的翻译进行的部分优化：http://blog.csdn.net/dznlong

　　3.风趣幽默的讲解傅里叶的由来和一些基础：https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

　　4.网上很多人都基于这篇外文进行的翻译和总结：http://www.dspguide.com/ch8/5.htm，外文得FQ，这里下载之后供大家下载：

　　5.扬州大学的一个PPT讲解傅里叶级数推导，原地址不知道在哪，这里给出好心人上传的百度地址：https://wenku.baidu.com/view/67a0cccdda38376baf1faec4.html

　　6.百度文库关于傅立叶级数到傅立叶变换的详细描述：https://wenku.baidu.com/view/365c63740b4c2e3f57276383.html

　　7.一位美女大神的博客，貌似还是大四~~https://blog.csdn.net/zlh_hhhh/article/details/75604333

　　8.参考的博文在这里或者博文结尾给出，文中直接引用将不再进行说明，请见谅！

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一.FFT的引出

　　在上一篇文章我们说到离散傅里叶变换(DFT)-->>“离散信号转化为连续信号，非周期信号转化为周期信号”，这个如果没理解的请看上一篇博文。大家有没有发现一点：DFT只是和你说如何去转化，没有说怎么去计算信号，他所表达的是离散非周期的信号本来是不能计算的，现在我可以把它变换成可以计算的了。那如果你感觉你能轻松的计算出来，就没必要看下面的内容了。

　　OK~~FFT登场了，它的作用就是快速的计算出来DFT变换之后的信号！

　　好了，现在引出FFT之后，下面就是介绍FFT原理和实现了。

二.FFT的原理

　　首先由一个例子切进：

　　下面是一个多项式函数--->>>

　

　　如果我们知道了n次多项式上的n个不同的点，那么这个多项式就可以解出来（高中常识）

　　这种方法叫做：点值表达

　　再给出一个多项式：

　　设有2n-2个点：

　　设：

　　 ，

　　则：