BZOJ 4445 [Scoi2015]小凸想跑步：半平面交

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题意

小凸晚上喜欢到操场跑步，今天他跑完两圈之后，他玩起了这样一个游戏。

操场是个凸 $ n $ 边形，$ n $ 个顶点 $ P_i $ 按照逆时针从 $ 0 $ 至 $ n-1 $ 编号。

现在小凸随机站在操场中的某个位置，标记为 $ P $ 点。将 $ P $ 点与 $ n $ 个顶点各连一条边，形成 $ n $ 个三角形。如果这时 $ (P, P_0, P_1) $ 形成的三角形的面积是 $ n $ 个三角形中最小的一个，小凸则认为这是一次正确站位。

现在小凸想知道他一次站位正确的概率是多少。

题解

对于一次正确站位 $ P $ 来说，要满足两个条件：

1. $ area(P, P_0. P_1) < area(P, P_i, P_{i+1}) \quad (1 \leq i \lt n-1) $，其中 $ area $ 表示三角形面积。
2. $ P $ 在多边形内部。

对于条件1来说，将面积转化成叉积形式：

\[\overrightarrow{PP_0} \times \overrightarrow{PP_1} < \overrightarrow{PP_i} \times \overrightarrow{PP_{i+1}} \quad (1 \leq i \lt n-1)
\]

然后再将向量拆开，整理得：

\[(-y_1+y_0+y_{i+1}-y_i)x + (-x_0+x_1+x_i-x_{i+1})y + (x_0y_1-x_1y_0-x_iy_{i+1}+x_{i+1}y_i) < 0
\]

这样就得到了 $ n $ 个以一般式 $ Ax+By+C<0 $ 的形式表示的半平面。

另外对于条件2来说，也是 $ n-1 $ 个半平面。

所以总共就有了 $ 2n-1 $ 个半平面，跑一边半平面交，就求出了正确站位的总面积 $ S_{right} $ 。

设凸多边形的面积为 $ S $ ，则答案就是 $ \dfrac{S_{right}}{S} $ 。

AC Code

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#define MAX_N 200005
#define EPS 1e-10
#define eq(x,y) (fabs((x)-(y))<EPS)

using namespace std;

struct Coor
{
	double x,y;
	Coor(double _x,double _y) { x=_x,y=_y; }
	Coor(){}
	friend Coor operator + (const Coor &a,const Coor &b)
	{
		return Coor(a.x+b.x,a.y+b.y);
	}
	friend Coor operator - (const Coor &a,const Coor &b)
	{
		return Coor(a.x-b.x,a.y-b.y);
	}
	friend Coor operator * (const Coor &a,double b)
	{
		return Coor(a.x*b,a.y*b);
	}
	friend Coor operator / (const Coor &a,double b)
	{
		return Coor(a.x/b,a.y/b);
	}
	friend double len(Coor a,Coor b)
	{
		return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
	}
	friend double dot(Coor a,Coor b)
	{
		return a.x*b.x+a.y*b.y;
	}
	friend double cross(Coor a,Coor b)
	{
		return a.x*b.y-a.y*b.x;
	}
	friend double area(Coor a,Coor b,Coor c)
	{
		return fabs(cross(b-a,c-a))/2.0;
	}
};

struct Line
{
	Coor a,b;
	double s;
	Line(Coor _a,Coor _b)
	{
		a=_a,b=_b;
		s=atan2(b.y-a.y,b.x-a.x);
	}
	Line(){}
	friend bool operator < (const Line &l1,const Line &l2)
	{
		return l1.s!=l2.s ? l1.s<l2.s : cross(l1.b-l1.a,l2.b-l1.a)<0;
	}
	friend Coor inter(Line l1,Line l2)
	{
		Coor x=l1.b-l1.a,y=l2.b-l2.a,u=l1.a-l2.a;
		Coor ans=l1.a+x*(cross(y,u)/cross(x,y));
		return ans;
	}
	friend bool onlef(Coor p,Line l)
	{
		return cross(l.b-l.a,p-l.b)>0;
	}
};

int n,tot=0,cnt=0;
double sum=0,ans=0;
Coor p[MAX_N];
Coor a[MAX_N];
Line l[MAX_N];
Line q[MAX_N];

void read()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
	p[n]=p[0];
	for(int i=1;i<n-1;i++) sum+=area(p[0],p[i],p[i+1]);
}

void build()
{
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		double a=-p[1].y+p[0].y+p[i+1].y-p[i].y;
		double b=-p[0].x+p[1].x+p[i].x-p[i+1].x;
		double c=p[0].x*p[1].y-p[1].x*p[0].y-p[i].x*p[i+1].y+p[i+1].x*p[i].y;
		Coor u=(eq(b,0) ? Coor(-c/a,0) : Coor(0,-c/b)),v(-b,a);
		l[++tot]=Line(u,u+v);
	}
	for(int i=0;i<n;i++) l[++tot]=Line(p[i],p[i+1]);
}

void hpi()
{
	sort(l+1,l+1+tot);
	int L=1,R=0,now=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++) if(i==1 || l[i].s!=l[now].s) l[++now]=l[i];
	tot=now,q[++R]=l[1],q[++R]=l[2];
	for(int i=3;i<=tot;i++)
	{
		while(L<R && !onlef(inter(q[R],q[R-1]),l[i])) R--;
		while(L<R && !onlef(inter(q[L],q[L+1]),l[i])) L++;
		q[++R]=l[i];
	}
	while(L<R && !onlef(inter(q[R],q[R-1]),q[L])) R--;
	while(L<R && !onlef(inter(q[L],q[L+1]),q[R])) L++;
	q[R+1]=q[L];
	for(int i=L;i<=R;i++) a[++cnt]=inter(q[i],q[i+1]);
	for(int i=2;i<cnt;i++) ans+=area(a[1],a[i],a[i+1]);
}

void work()
{
	build();
	hpi();
	printf("%.4f\n",ans/sum);
}

int main()
{
	read();
	work();
}