有关计数问题的dp

问题一：划分数

问题描述

有n个去区别的物体，将它们划分成不超过m组，求出划分方法数模M的余数。

我们定义dp[i][j]，表示j的i划分的总数

将j划分成i个的话，可以先取出k个，然后将剩下的j-k个分成i-1份。

考虑n的m划分Ai，如果对于每一个i都有Ai>0，那么Ai-1就对应了n-md的m划分。另外如果存在Ai=0，那么就对应了n的m-1划分，则可以得到递推公式：

a[i][j]=a[i][j-i]+a[i-1][j];

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#define MAX_M 100
#define MAX_N 100
using namespace std;
int n,m,M;
int dp[MAX_M+1][MAX_N+1];///dp[i][j]表示j的i划分的总数
void solve()
{
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        for(int j=0; j<=n; j++)
        {
            if(j-i>=0)
                dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-i])%M;
            else
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
    printf("%d\n",dp[m][n]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&M);
    solve();
    return 0;
}

问题二：多重集组合数

问题描述：

有n种物品，第i种物品有Ai个。不同种类的物品可以互相区分，但相同种类的无法区分。从这些物品中取出m个的话，有多少种取法？求出方案数模M的余数。

分析：

为了不重复计数，同一种类的物品最好一次性处理好。

定义dp[i+1][j]，表示从前i种物品中取出j个的组合总数

从前i种物品中取出j个，可以从前i-1种产品中取出j-k个，再从第i种产品中取出k个

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#define MAX_M 100
#define MAX_N 100
using namespace std;
int n,m,M;
int a[MAX_N];
int dp[MAX_M+1][MAX_N+1];
void solve()
{
    ///不管从多少种物品中取，取0个的方法有且仅有1种
    for(int i=0; i<=n; i++)
        dp[i][0]=1;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
        {
            if(j-1-a[i]>=0)///加个M避免减法过后产生负数
                dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j]-dp[i][j-1-a[i]]+M)%M;
            else
                dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j])%M;
        }
        printf("%d\n",dp[n][m]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&M);
    for(int i=0; i<n; i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    solve();
    return 0;
}