【斐波拉契+数论+同余】【ZOJ3707】Calculate Prime S

题目大意：

S[n] 表示 集合{1,2,3,4,5.......n} 不存在连续元素的子集个数

Prime S 表示S[n]与之前的所有S[i]互质;

问 找到大于第K个PrimeS 能整除X 的第一个S[n]

并且 输出(S[n]/X)%M

1.斐波拉契阶段

很容易写出S[n]的各个值发现是斐波拉契数列

2 3 5 8 13 21 34

2.斐波拉契性质

gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m)) （从1开始计算的即 1 1 2 3 5 8序列）

所以只有当 gcd(n,m)=1或2时  fib[n]与fib[m]互质

S[n]=fib[n+2]

所以若S[n] 要是一个 PrimeS

则n+2必须是一个质数或者4 ，自己画画就知道为什么4是特殊的了

所以构造一个特殊的素数表

P[i]  3 4 5 7 11 13...................

所以第K个PrimeS 就是fib[P[k]]

3.如何寻找整除X的数

从 fib[P[k]开始一个一个找 使得fib[P[k]]%X==0 的数即可

记录ansi=i；

4.同余公式的引用

(a/b)%c=（a%（b*c））/b

根据ansi 计算即可

代码如下：

/*
    TLE 1次
    没注意1000000个质数 maxn 至少要1600W
*/
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>
#define oo 0x13131313
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=16000001;
int K,X,M;
int p[2000001],tot=0;
bool yn[maxn];
struct node{
    LL mat[3][3];
};
node matmult(node a,node b,int mod)
{
    node c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
            for(int k=1;k<=2;k++)
            c.mat[i][j]=(c.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;
    return c;
}
node quickmatpow(node a,int n,int mod)
{
    node c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    c.mat[1][1]=1;c.mat[1][2]=0;c.mat[2][1]=0;c.mat[2][2]=1;
    while(n!=0)
    {
        if(n&1==1) c=matmult(c,a,mod);

        a=matmult(a,a,mod);
        n=n>>1;
    }
    return c;
}
void get_prime()
{
     for(int i=2;i<maxn;i++)
     {
      if(yn[i]==false)
      {
          p[++tot]=i;
          for(int j=i;j<maxn;j=j+i)
          yn[j]=true;
      }

     }
   //  printf("%d\n",tot);
    p[1]=3;
    p[2]=4;
}
void init()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
}
int main()
{
  //  init();
    get_prime();
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
    {
        int ansi;
        int temp;
        node a,c;
        memset(a.mat,0,sizeof(a.mat));
        memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
        a.mat[1][1]=1,a.mat[1][2]=1,a.mat[2][1]=1,a.mat[2][2]=0;
        scanf("%d%d%d",&K,&X,&M);
        for(int i=p[K];;i++)
        {
            c=quickmatpow(a,i-2,X);
            temp=((c.mat[1][1]+c.mat[1][2]))%X;
           if(temp==0)
            {
                ansi=i;
                break;
            }
        }
            c=quickmatpow(a,ansi-2,M*X);
            temp=((c.mat[1][1]+c.mat[1][2]))%(M*X);
        printf("%d\n",temp/X);
    }
    return 0;
}