POJ - 2175 Evacuation Plan (最小费用流消圈)

题意:有N栋楼,每栋楼有\(val_i\)个人要避难,现在有M个避难所,每个避难所的容量为\(cap_i\),每个人从楼i到避难所j的话费是两者的曼哈顿距离.现在给出解决方案,问这个解决方案是否是花费最小的,若不是,则给出比这个更优的解.

分析:若只是要我们求一个最优解的话就用费用流做.现在要求判断是否最优,那么就是当前这张图中是否最短路还能被更新.

首先需要根据给定的解决方案重现这个状态下的残余网,其实只需要加入必要的弧即可:对与任意的楼与避难所(i,j),建边,费用为其距离;若i->j有流量,则反向弧也需要加入,费用为-|距离|.

对于源点s和汇点t.其实没必要加入源点出发的边,只考虑到达t的边.这部分的弧显然费用不用考虑,为0即可.因为汇点是与避难所相连,统计每个避难所的入流,若入流不为0,需要加入反向弧,若已经满流,则说明已经不可增广,则不用加入该弧.

最后从汇点出发跑一遍spfa,若存在负环,则只要在任意一个负环中走一遍即可减少费用.在spfa的过程中记录每个点的前驱,这样绕着环走一遍,注意判断边(i,j)的意义,可能是楼i到避难所j多去一个人,也可能是避难所j往i回退一个人.

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#include<cstring>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
const int MAXM = 100000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge{
    int to, next, cap, flow, cost;
} edge[MAXM];
int head[MAXN], tot;
int pre[MAXN], dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
int cnt[MAXN];
int N;
void init(int n)
{
    N = n;
    tot = 0;
    memset(head, -1, sizeof(head));
}

void AddEdge(int u, int v,int cost)
{
    edge[tot] = (Edge){v,head[u],0,0,cost};
    head[u] = tot++;
    //edge[tot] = (Edge){u,head[v],0,0,-cost};
    //head[v] = tot++;
}

int spfa(int s){
    queue<int> q;
    for (int i = 0; i < N; i++){
        dis[i] = INF;
        vis[i] = false;
        pre[i] = -1;
        cnt[i] = 0;
    }
    dis[s] = 0;
    vis[s] = true;
    q.push(s);
    while (!q.empty()){
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = false;
        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next){
            int v = edge[i].to;
            if (dis[v] > dis[u] + edge[i].cost){
                dis[v] = dis[u] + edge[i].cost;
                pre[v] = u;                             //记录前驱
                if (!vis[v]){
                    vis[v] = true;
                    q.push(v);
                    if(++cnt[v]>N) return v;            //有负环,能减小花费
                }
            }
        }
    }
    return -1;
}

struct Point{
    int x,y,val;
}p[MAXN],vz[MAXN];

int dist(const Point &a, const Point &b){
    return abs(a.x-b.x) + abs(a.y-b.y) ;
}

int G[105][105];
int num[105];

int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
        freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    int N,M;
    while(scanf("%d %d",&N, &M)==2){
        init(N+M+2);
        int s=0,t=N+M+1;
        for(int i=1;i<=N;++i){
            scanf("%d %d %d",&p[i].x, &p[i].y, &p[i].val);
        }
        for(int i=1;i<=M;++i){
            scanf("%d %d %d",&vz[i].x,&vz[i].y, &vz[i].val);
        }
        memset(num,0,sizeof(num));
        for(int i=1;i<=N;++i){
            for(int j=1;j<=M;++j){
                scanf("%d",&G[i][j]);
                int d = dist(p[i],vz[j]);
                AddEdge(i,j+N,d);
                num[j] += G[i][j];
                if(G[i][j]) AddEdge(j+N,i,-d);          //有流量说明有反向边
            }
        }
        for(int i=1;i<=M;++i){              //此处s表示实际网络里的汇点
            if(num[i]){                     //有流量则有反向边
                AddEdge(s,i+N,0);
                if(num[i]<vz[i].val){       //没漫流说明还有继续推进的空间
                    AddEdge(i+N,s,0);
                }
            }
        }
        int u = spfa(s);
        if(u==-1){
            printf("OPTIMAL\n");
        }
        else{
            printf("SUBOPTIMAL\n");
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            int v = u;
            while(!vis[pre[v]]){
                vis[v] = 1;
                v = pre[v];
            }
            int cur = v;
            do{
                int fa = pre[cur];
                if(fa<=N && cur>N)
                    G[fa][cur-N]++;         //走这条边代表楼i->避难所j多一个人能更优
                else if(fa>N && cur<=N)
                    G[cur][fa-N]--;         //同理
                cur = fa;
            }while(cur!=v);
            for(int i=1;i<=N;++i){
                for(int j=1;j<=M;++j){
                    printf("%d%c",G[i][j],j==M?'\n':' ');
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}