1039 AlvinZH的学霸养成记IV

思路

难题,最大二分图匹配。

难点在于如何转化问题,n对n,一个只能攻击一个,判断是否存在一种攻击方案我方不死团灭对方。可以想到把所有随从看作点,对于可攻击的两个随从间连上边,这样就把问题转化为图了。

需要注意的是属性值的转化:免疫可看做生命值无限,剧毒可看做攻击力无限。(需要一点小小的机智)

图建好了,接下来怎么办呢?假设存在一种方案满足题意,那就是每个我方随从都可以找到敌方随从攻击,由于要团灭,只能存在一对一的情况,不存在多对一或一对多。如何表达这个方案呢?边!没错,就是刚才连起来的边的一个子集。这个子集有一个特点:n对n,n条边,边连着两边,且没有公共顶点。

没错,经过一番分析,最大二分图匹配已经很明显了。求解过程套板子就好了。

分析

二分图匹配算法

1.匈牙利算法:其本质就是,有条件就上,没条件创造条件也要上。DFS与BFS都可,时间复杂度均为 \(O(V⋅E)\) 。实际对于稀疏图BFS更佳。

2.Hopcroft-Karp算法:匈牙利算法的改进版,每次寻找多条增广路径。时间复杂度可以到达 \(O(n^{0.5}*m)\) 。

3.Dinic算法:二分图匹配其实是一个最大流问题,Dinic是一种优化过的求解最大流算法。与朴素的FF算法(\(O(n*m^2)\))不同,其可以同时多路增广。求解二分图时,构建超级源点和超级汇点,匹配边权值为1,求最大流即可。理论最坏复杂度为 \(O(n^2m)\) ,稠密图时比匈牙利DFS快了不少。

参考博客:二分图;

匈牙利算法;

Hopcroft-Karp算法;

Dinic算法

参考代码(DFS)

//
// Created by AlvinZH on 2017/11/27.
// Copyright (c) AlvinZH. All rights reserved.
// #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#define MaxSize 1005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std; int n, ans;
vector<int> G[MaxSize];//记录可攻击的敌方随从
int match[MaxSize];//记录匹配点
int visit[MaxSize];//记录是否访问 struct minion {
int attack, life;
}A[MaxSize], B[MaxSize]; bool dfs(int x)//寻找增广路径
{
for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i)
{
int to = G[x][i];
if(!visit[to])
{
visit[to] = 1;
if(!match[to] || dfs(match[to]))
{
match[to] = x;
return true;
}
}
}
return false;
} int MaxMatch()
{
ans = 0;
memset(match, 0, sizeof(match));
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
memset(visit, 0, sizeof(visit));//清空访问
if(dfs(i)) ans++;//从节点i尝试扩展
}
return ans;
} int main()
{
while(~scanf("%d", &n))
{
int a, l, p;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d %d %d", &a, &l, &p); switch (p) {
case 0:
A[i].attack = a; A[i].life = l; break;
case 1:
A[i].attack = a; A[i].life = INF; break;
case 2:
A[i].attack = INF; A[i].life = l; break;
case 3:
A[i].attack = INF; A[i].life = INF; break;
default:
break;
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d %d", &B[i].attack, &B[i].life);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
G[i].clear(); for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
if(A[i].attack >= B[j].life && A[i].life > B[j].attack)
G[i].push_back(j);
}
}
if(n == MaxMatch()) printf("YES\n");
else printf("NO\n");
}
}

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