数学分析 + 容斥原理 - URAL 1907 Coffee and Buns

Coffee and Buns

Problem's Link: http://www.bnuoj.com/v3/contest_show.php?cid=6415#problem/H

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Mean:

给定两个数a和n，求[1,n]中有多少个x满足：gcd(4*(a+x),a^2+x^2)>1。

analyse:

gcd(4(a+x),a^2+x^2)>1  ----> gcd(a+x,(a+x)^2-2ax)>1  ----> gcd(a+x,2ax)>1 (gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

假设a是偶数，那么gcd(a+x,2ax)>1 ----> gcd(a+x,ax)

　　设最大公约数为g，则g|ax，g|a+x

　　如果g|a，那么g|x，如果g|x，那么g|a，所以只要x是a任意一个因子的倍数就合法

　　假设a是奇数，那么有2种情况

　　1.x是奇数

　　2.x是a任意一个因子的倍数

所以要求1~maxn中与a，gcd > 1 的个数，就是求1~maxn与某一个num不互素的个数，要用到容斥原理。

Time complexity: O(N)

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