CF375E Red and Black Tree(线性规划)

CF375E Red and Black Tree(线性规划)

Luogu

题解时间

很明显有一个略显复杂的 $ n^3 $ dp，但不在今天讨论范围内。

考虑一些更简单的方法。

设有 $ m $ 个点为黑，转化成线性规划问题，很明显有

\[minimum:\sum\limits_{i} ( 1 - col_{i} ) x_{i}
\]

\[\sum\limits_{ dis(i,j) \le lim } x_{j} \ge 1
\]

\[\sum\limits_{i} x_{i} =m
\]

最后的一个等式转化成两个不等式，之后将整个线性规划利用对偶原理转化成标准型直接单纯形法求解即可。

毫无疑问最终结果不会有 $ x_{i} > 1 $ ，而对于是否可能出现小数，很明显不会影响最终结果。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lint;
struct pat{int x,y;pat(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}bool operator<(const pat &p)const{return x==p.x?y<p.y:x<p.x;}};
template<typename TP>inline void read(TP &tar)
{
	TP ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){ret=ret*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	tar=ret*f;
}
template<typename TP,typename... Args>inline void read(TP& t,Args&... args){read(t),read(args...);}
namespace RKK
{
const int N=511;
const double eps=1e-8,inf=1e18;int cz(const double &a){return fabs(a)<=eps?0:(a>eps?1:-1);}
struct sumireko{int to,ne,w;}e[N<<1];int he[N],ecnt;
void addline(int f,int t,int w){e[++ecnt].to=t,e[ecnt].w=w,e[ecnt].ne=he[f],he[f]=ecnt;}
namespace lisp
{
	int n,m,id[N<<1];double a[N][N];
	void pivot(int l,int e)
	{
		swap(id[m+l],id[e]);
		double k=-a[l][e];a[l][e]=-1;
		for(int j=0;j<=m;j++) a[l][j]/=k;
		for(int i=0;i<=n;i++)if(i!=l&&cz(a[i][e]))
		{
			k=a[i][e],a[i][e]=0;
			for(int j=0;j<=m;j++) a[i][j]+=k*a[l][j];
		}
	}
	int init()
	{
		for(int i=1;i<=m+n;i++) id[i]=i;
		while(1)
		{
			int l=0,e=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)if(cz(a[i][0])<0&&(!l||rand()&1)) l=i;
			if(!l) break;
			for(int j=1;j<=m;j++)if(cz(a[l][j])>0&&(!e||rand()&1)) e=j;
			if(!e) return -1;//no solution
			pivot(l,e);
		}return 0;
	}
	int simplex()
	{
		while(1)
		{
			int l=0,e=0;double mi=inf;
			for(int j=1;j<=m;j++)if(cz(a[0][j])>0&&(!e||rand()&1)) e=j;
			if(!e) break;
			for(int i=1;i<=n;i++)if(cz(a[i][e])<0&&(!l||-a[i][0]/a[i][e]<mi)) l=i,mi=-a[i][0]/a[i][e];
			if(!l) return -1;//unbounded
			pivot(l,e);
		}return 0;
	}
	void work()
	{
		if(init()==-1) return (void)(puts("-1"));
		if(simplex()==-1) return (void)(puts("-1"));
		printf("%.0lf\n",a[0][0]);
	}
}
int n,m,lim,col[N];
void dfs(int x,int f,int sp,int dis)
{
	if(dis>lim) return;
	lisp::a[x][sp]=-1;
	for(int i=he[x],t=e[i].to;i;i=e[i].ne,t=e[i].to)if(t!=f) dfs(t,x,sp,dis+e[i].w);
}
int main()
{
	read(n,lim);for(int i=1;i<=n;i++) read(col[i]),m+=col[i];
	for(int i=2,x,y,w;i<=n;i++) read(x,y,w),addline(x,y,w),addline(y,x,w);
	lisp::n=n,lisp::m=n+2;
	for(int i=1;i<=n;i++) lisp::a[i][0]=!col[i],lisp::a[0][i]=1;lisp::a[0][n+1]=m,lisp::a[0][n+2]=-m;
	for(int i=1;i<=n;i++) lisp::a[i][n+1]=-1,lisp::a[i][n+2]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) dfs(i,0,i,0);
	lisp::work();
	return 0;
}
}
int main(){return RKK::main();}