luogu P4512 多项式除法 (模板题、FFT、多项式求逆)

手动博客搬家: 本文发表于20181206 14:42:53, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/84853342

题目链接: https://www.luogu.org/problemnew/show/P4512

没想到这算法这么蠢。。一点都不难啊。。我连这都推不出来我是不是没救了

这个多项式满足\(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), 如果已知\(R(x)\)是\(0\), 那显然很好处理，求个逆就行了。

那如果有余数呢？很简单，如果我们把这个多项式的系数翻转(reverse)，那么\(R(x)\)就从低次项变成了高次项，低次项就不再受\(R(x)\)的而影响了。

这是我们的基本思路。下面我们来形式化这个过程:

\(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\)

对于\(n\)次多项式\(F(x)\)令\(F_R(x)=x^nF(\frac{1}{x})\) (这就是前面所说的reverse操作)

则有\(x^nA(\frac{1}{x})=x^mB(\frac{1}{x})x^{n-m}Q(\frac{1}{x})+x^{m-1}R(\frac{1}{x})x^{n-m+1}\)

\(A_R(x)=B_R(x)Q_R(x)+x^{n-m+1}R_R(x)\)

\(A_R(x)\equiv B_R(x)Q_R(x) (\mod x^{n-m+1})\)

于是我们求\(B_R(x)\)在\(\mod x^{n-m+1}\)意义下的逆，然后乘以\(A_R(x)\)即可求出\(Q_R(x)\), 从而得到\(Q(x)\).

然后用\(R(x)=A(x)-B(x)Q(x)\)即可求出\(R(x)\).

(虽然算法简单但是要注意的地方还挺多……容易错。)

时间复杂度\(O(n\log n)\), 我写的进行了\(24\)倍常数的ntt.

空间复杂度\(O(n)\), 我的实现好像需要开\(8\)倍。

代码实现

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define llong long long
#define modinc(x) {if(x>=P) x-=P;}
using namespace std;

const int N = 1<<19;
const int LGN = 19;
const llong G = 3ll;
const int P = 998244353;
llong tmp1[N+3],tmp2[N+3],tmp3[N+3],tmp4[N+3];
llong tmp5[N+3],tmp6[N+3],tmp7[N+3],tmp8[N+3],tmp9[N+3];
llong a[N+3],b[N+3],q[N+3],r[N+3];
int id[N+3];
int n,m;

llong quickpow(llong x,llong y)
{
 llong cur = x,ret = 1ll;
 for(int i=0; y; i++)
 {
  if(y&(1ll<<i)) {y-=(1ll<<i); ret = ret*cur%P;}
  cur = cur*cur%P;
 }
 return ret;
}
llong mulinv(llong x) {return quickpow(x,P-2)%P;}

void initid(int dgr)
{
 int len = 0; for(int i=0; i<=LGN; i++) if((1<<i)==dgr) {len = i; break;}
 id[0] = 0;
 for(int i=1; i<dgr; i++) id[i] = (id[i>>1]>>1)|(i&1)<<(len-1);
}

int getdgr(int x)
{
 int ret = 1;
 while(ret<=x) ret<<=1;
 return ret;
}

void ntt(int dgr,int coe,llong poly[],llong ret[])
{
 initid(dgr);
 for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = poly[i];
 for(int i=0; i<dgr; i++) if(i<id[i]) swap(ret[i],ret[id[i]]);
 for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
 {
  llong tmp = quickpow(G,(P-1)/(i<<1));
  if(coe==-1) tmp = mulinv(tmp);
  for(int j=0; j<dgr; j+=(i<<1))
  {
   llong expn = 1ll;
   for(int k=0; k<i; k++)
   {
    llong x = ret[j+k],y = ret[j+i+k]*expn%P;
    ret[j+k] = x+y; modinc(ret[j+k]);
    ret[j+i+k] = x-y+P; modinc(ret[j+i+k]);
    expn = (expn*tmp)%P;
   }
  }
 }
 if(coe==-1)
 {
  llong tmp = mulinv(dgr);
  for(int j=0; j<dgr; j++) ret[j] = ret[j]*tmp%P;
 }
}

void polyinv(int dgr,llong poly[],llong ret[])
{
 for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = 0ll;
 ret[0] = mulinv(poly[0]);
 for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
 {
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp1[j] = j<i ? ret[j] : 0ll;
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp2[j] = j<(i<<1) ? poly[j] : 0ll;
  ntt((i<<2),1,tmp1,tmp3); ntt((i<<2),1,tmp2,tmp4);
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp3[j] = tmp3[j]*tmp3[j]%P*tmp4[j]%P;
  ntt((i<<2),-1,tmp3,tmp4);
  for(int j=0; j<(i<<1); j++) ret[j] = (tmp1[j]+tmp1[j]-tmp4[j]+P)%P;
 }
 for(int j=dgr; j<(dgr<<1); j++) ret[j] = 0ll;
}

void polyrev(int dgr,llong poly[],llong ret[])
{
 for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = poly[dgr-1-i];
}

void polydiv(int dgr1,int dgr2,llong poly1[],llong poly2[],llong ret1[],llong ret2[])
{
 int _dgr1 = getdgr(dgr1),_dgr2 = getdgr(dgr2);
 polyrev(dgr2,poly2,tmp5); polyrev(dgr1,poly1,tmp9);
 polyinv(_dgr1,tmp5,tmp6);
 for(int i=dgr1-dgr2+1; i<(_dgr1<<1); i++) tmp6[i] = 0ll;
 ntt(_dgr1<<1,1,tmp9,tmp7); ntt(_dgr1<<1,1,tmp6,tmp8);
 for(int i=0; i<(_dgr1<<1); i++) tmp7[i] = tmp7[i]*tmp8[i]%P;
 ntt(_dgr1<<1,-1,tmp7,tmp8);
 for(int i=dgr1-dgr2+1; i<(_dgr1<<1); i++) tmp8[i] = 0ll;
 polyrev(dgr1-dgr2+1,tmp8,ret1);
 ntt(_dgr1<<1,1,poly2,tmp7); ntt(_dgr1<<1,1,ret1,tmp8);
 for(int i=0; i<(_dgr1<<1); i++) tmp7[i] = tmp7[i]*tmp8[i]%P;
 ntt(_dgr1<<1,-1,tmp7,ret2);
 for(int i=dgr2; i<(_dgr1<<1); i++) ret2[i] = 0ll;
 for(int i=0; i<dgr2-1; i++) ret2[i] = (poly1[i]-ret2[i]+P)%P;
}

int main()
{
 scanf("%d%d",&n,&m); n++; m++;
 for(int i=0; i<n; i++) scanf("%lld",&a[i]);
 for(int i=0; i<m; i++) scanf("%lld",&b[i]);
 int dgr1 = getdgr(n),dgr2 = getdgr(m);
 polydiv(n,m,a,b,q,r);
 for(int i=0; i<=n-m; i++) printf("%lld ",q[i]); puts("");
 for(int i=0; i<m-1; i++) printf("%lld ",r[i]);
 return 0;
}