SG函数略解

由于笔者太懒，懒得把原来的markdown改成MCE，所以有很多奇怪的地方请谅解。

先说nim游戏。

大意：有n堆石子，两个人轮流取，每个人每次从任意一堆取任意个，直到一个人无法取了为止。问对于石子的情况先手的输赢。

这看上去无从入手，但是仔细想想还是有法的。

我们从最终态逆推，首先考虑（0,0,0）的情况，一看就gg了，无论谁面对这种情况都只能愿赌服输。
那么我们考虑如果我们是后手，应该怎么样才可以赢。于是我们考虑，如果出现这么一种情况（0，n，n），我们是不是处于必胜的状态。考虑当下情况，无论对方从任何一堆里取多少个，那么我们总可以从另一堆里取到相同个数然后保持当前局势。这样对方取完任何一堆，我们都可以相应的取完另一堆然后把（0,0,0）的gg局势扔给对方。

那么我们怎样才能使当前局势成为（0，n，n）呢？
我们首先从简单的例子开始：
对于情况（1,2,3），我们将这三个数二进制掉。
则：

1：01
2：10
3：11
所以1^2^3==0。
然后我们可以得出，对于任意一个f[1]^f[2]^……^f[n]==0,我们总能神乎其技的把当前情况简化成（0，n，n）来使自己必胜，反之我们就必败了。

所以我们就得出了nim游戏的一般结论。

## 然后说说sg值

先说说必败点和必胜点吧。

必败点：无论哪一方取时处于这个位置，那么必败无疑。

必胜点：无论哪一方取时处于这个位置，那么不用往后算，他已经赢了。

我们把必败点和必胜点用P和N表示。

### 给出几条性质：

1.对于任何一个必败点， 它仅能转移到必胜点。

2.对于任何一个必胜点，它都有至少一种方法转移到必败点。

3.必败点为游戏的终结点（推理基础，建立在没有平局的基础上）。

（我们以先手为第一人称）

解释一下这几个性质。

对于性质1，我们如果想要失败的话，在我们当前的位置，我们只能转移到一个必胜的位置来让对方继续。

对于性质2，我们如果要胜利，在我们当前位置，一定可以转移到一个必败点来让对方失败。

对于性质3，无论谁取到必败点，都会陷入以上两个性质的恶性循环而失去所有胜利的机会。

那么我们看一个例子：

给定一堆n个石子，两个人轮流从里面取2的幂次方个，求先手的策略。

对题目进行分析，我们可以取得个数有1，2,4,8,16,32……

那么由最终态分析：

当n=0时，为一个必败点P，因为很明显你不能操作了。

n=1时，为必胜点。

n=2时，为必胜点。

n=3时，无论怎么取，要么剩1个要么剩两个，根据性质1，我们gg了。

以此类推

n=0~7
胜负为：PNNPNNPN

规律还是比较明显的。

## 然后我们引入sg值

笔者太懒，百科复制定义了，其实也没大用：
```
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。
这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。
而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏SG函数满足 SG(x) = x。
```
首先我们要知道这样的一个定义：mex（{？}）就是集合中没出现的最小的非负整数。例如mex（1,2,3）=0，mex（0,1,2,4……）=3。

对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

可能不好理解，还是给个例子：

假设我们有一堆n个石子，我们只能从里面取1,2,5这些。
```
那么首先：
SG[0]=0，因为总是这样的。
SG[1]=mex(0）=1
SG[2]=mex(0,1)=2
SG[3]=mex(1,2)=0
SG[4]=mex(2,3)=0
SG[5]=mex(0,3,4)=1
以此类推……
```
由此我们可以得出SG值的求法，一个状态数组f，一个后继状态集合S，加上SG即可求出。

可以做一下[Fabonacci again and again](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848)来熟悉一下代码。