[AH/HNOI2017]抛硬币

题目描述

小 A 和小 B 是一对好朋友，他们经常一起愉快的玩耍。最近小 B 沉迷于**师手游，天天刷本，根本无心搞学习。但是已经入坑了几个月，却一次都没有抽到 SSR，让他非常怀疑人生。勤勉的小 A 为了劝说小 B 早日脱坑，认真学习，决定以抛硬币的形式让小 B 明白他是一个彻彻底底的非洲人，从而对这个游戏绝望。两个人同时抛 b 次硬币，如果小 A 的正面朝上的次数大于小 B 正面朝上的次数，则小 A 获胜。

但事实上，小 A 也曾经沉迷过拉拉游戏，而且他一次 UR 也没有抽到过，所以他对于自己的运气也没有太大把握。所以他决定在小 B 没注意的时候作弊，悄悄地多抛几次硬币，当然，为了不让小 B 怀疑，他不会抛太多次。现在小 A 想问你，在多少种可能的情况下，他能够胜过小 B 呢？由于答案可能太大，所以你只需要输出答案在十进制表示下的最后 k 位即可。

输入输出格式

输入格式：

有多组数据，对于每组数据输入三个数a,b,k，分别代表小A抛硬币的次数，小B抛硬币的次数，以及最终答案保留多少位整数。

输出格式：

对于每组数据，输出一个数，表示最终答案的最后 k 位为多少，若不足 k 位以 0 补全。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 1 9
3 2 1

输出样例#1： 复制

000000004
6

说明

对于第一组数据，当小A抛2次硬币，小B抛1次硬币时，共有4种方案使得小A正面朝上的次数比小B多。

(01,0), (10,0), (11,0), (11,1)

对于第二组数据，当小A抛3次硬币，小B抛2次硬币时，共有16种方案使得小A正面朝上的次数比小B多。

(001,00), (010,00), (100,00), (011,00), (101,00), (110,00), (111,00), (011,01), (101,01), (110,01),(111,01), (011,10), (101,10), (110,10), (111,10), (111,11).

数据范围

10%的数据满足a,b≤20；

30%的数据满足a,b≤100；

70%的数据满足a,b≤100000，其中有20%的数据满足a=b；

100%的数据满足1\le a,b\le 10^{15},b\le a\le b+10000,1\le k\le 91≤a,b≤1015,b≤a≤b+10000,1≤k≤9，数据组数小于等于10。

转载http://www.cnblogs.com/Yuzao/p/7954245.html

因为 \(a-b\) 很小，考虑怎么把式子变成和 \(a-b\) 有关.
考虑 \(a=b\) 的情况，赢了翻转后就输了，平局不算在内，

要减掉的。减了之后再除。推导如下：

$$\sum_{i=0}^{a}C_a^i * C_a^i = \sum_{i=0}^{a}C_a^i * C_a^{a-i} = C_{2a}^a$$

平局方案为C(2a,a)

所以答案为 \((2^{a+b}-C(2a,a))/2\).
\(a>b\) 时，同样存在对称性，对于正着会输，反过来就赢得情况，就是 \(2^{a+b}/2\) 种
对于正着反着都赢的情况还没有算进去:
\[\sum_{i=1}^{b}\sum_{j=1}^{a-b-1}C_{b}^{i}*C_{a}^{i+j}\]
\[\sum_{i=1}^{b}\sum_{j=1}^{a-b-1}C_{b}^{b-i}*C_{a}^{i+j}\]
\[\sum_{j=1}^{a-b-1}C_{a+b}^{b+j}\]
\[\sum_{j=b+1}^{a-1}C_{a+b}^{j}\]
对于除2，根据对称性，只算一半即可，注意偶数情况，存在一项需要手动除2，算2时在因子中减去，算5时直接乘逆元即可

取模不是素数，所以要中国剩余定理

可以默认模数为10^9，输出时取模

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 ll K,fac[][];
 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
   if (b==)
     {
       x=;y=;
       return a;
     }
   ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
   ll t=x;x=y;y=t-(a/b)*x;
   return d;
 }
 ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
 {
   ll res=;
   while (b)
     {
       if (b&) res=res*a%mod;
       a=a*a%mod;
       b/=;
     }
   return res;
 }
 ll rev(ll a,ll b)
 {
   ll x,y;
   exgcd(a,b,x,y);
   return (x%b+b)%b;
 }
 ll calfac(ll x,ll p,ll t)
 {
   if (x<t) return fac[t][x];
   ll s=qpow(fac[t][p-],x/p,p);
   s=(s*fac[t][x%p])%p;
   s=(s*calfac(x/t,p,t))%p;
   return s;
 }
 ll lucas(ll b,ll a,ll t,ll p,bool q)
 {ll i;
   if (b<a) return ;
   ll ap=,bp=,cp=;
   for (i=b;i;i/=t) ap+=i/t;
   for (i=a;i;i/=t) bp+=i/t;
   for (i=b-a;i;i/=t) cp+=i/t;
   ap=ap-bp-cp;
   if (q==&&t==) ap--;
   if (ap>=K) return ;
   ll s=qpow(t,ap,p);
   ap=calfac(b,p,t);bp=calfac(a,p,t),cp=calfac(b-a,p,t);
   s=((s*ap%p)*(rev(bp,p)*rev(cp,p))%p)%p;
   if (q&&t==) s=s*rev(,p)%p;
   return s;
 }
 ll cal(ll a,ll b,ll Mod,ll pr)
 {ll i;
   ll ans=qpow(,a+b-,Mod);
   if (a==b)
     {
       ans=(ans-lucas(a+b,a,pr,Mod,)+Mod)%Mod;
       return ans;
     }
   else
     {
       for (i=(a+b)/+;i<a;i++)
     ans=(ans+lucas(a+b,i,pr,Mod,)+Mod)%Mod;
     }
   if ((a+b)%==) ans=(ans+lucas(a+b,(a+b)/,pr,Mod,)+Mod)%Mod;
   return ans;
 }
 ll work(ll a,ll b,ll k)
 {
   ll p1=qpow(,k,2e9+),p2=qpow(,k,2e9+),mod=qpow(,k,2e9+);
   ll b1=cal(a,b,p1,),b2=cal(a,b,p2,);
   ll a1=rev(p2,p1),a2=rev(p1,p2);
   return (b1*(p2*a1%mod)%mod+b2*(p1*a2%mod)%mod)%mod;
 }
 void print(ll d,ll k)
 {
   if (k==)
     printf("%01lld\n",d%qpow(,,2e9+));
   if (k==)
     printf("%02lld\n",d%qpow(,,2e9+));
   if (k==)
     printf("%03lld\n",d%qpow(,,2e9+));
   if (k==)
     printf("%04lld\n",d%qpow(,,2e9+));
   if (k==)
     printf("%05lld\n",d%qpow(,,2e9+));
   if (k==)
     printf("%06lld\n",d%qpow(,,2e9+));
   if (k==)
     printf("%07lld\n",d%qpow(,,2e9+));
   if (k==)
     printf("%08lld\n",d%qpow(,,2e9+));
   if (k==)
     printf("%09lld\n",d%qpow(,,2e9+));
 }
 int main()
 {ll a,b,k,i,p;
   fac[][]=;p=qpow(,,2e9+);
   for (i=;i<=p-;i++)
     if (i%==) fac[][i]=fac[][i-];
     else fac[][i]=fac[][i-]*i%p;
   fac[][]=;p=qpow(,,2e9+);
   for (i=;i<=p-;i++)
     if (i%==) fac[][i]=fac[][i-];
     else fac[][i]=fac[][i-]*i%p;
   while (cin>>a>>b>>k)
     {
       K=;ll d=work(a,b,);
       print(d,k);
     }
 }