BM算法

BM算法

用来求解一个数列的递推式。

即给定\(\{x_i\}\)求解一个\(\{a_i\}\)，满足\(|a|=m,x_n=\sum_{i=1}^ma_i*x_{n-i}\)。

考虑增量法构造。

假设当前有一个长度为\(m\)的\(\{a\}\)满足条件，并且对于\(x_{1..n-1}\)都满足递推关系。

定义\(delta=\sum_{i=1}^m a_i*x_{n-i}-x_i\)。如果\(delta\)显然满足递推关系，不用管。

否则不满足，那么我们就要\(fix\)一下锅。那么我们就要找另外一个递推式\(\{b\}\)，让\(i\in[1,n-1]\)的时候算出来的\(delta'\)都是\(0\)，同时在\(i=n\)的时候算出来的东西是\(1\)，那么乘一乘，搞一搞就可以了。

问题在于怎么找这个东西。如果当前这个不是第一次不合法，那么前面必定存在一个位置\(j\)，然后在\(j\)的时候我们对于这个多项式修了一次锅，它满足了\([1,j-1]\)都是\(0\)，同时\(j\)位置上有值。那么我们在前面补零，直到当前\(i\)位置的时候恰好对应到\(j\)位置上那个非\(0\)的位置，乘逆元之后，这样子恰好能够满足条件。那么把多项式加在一起就好啦。

说得好乱啊，看看代码就懂了。

模板

void BM()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		delta[i]=(MOD-f[i])%MOD;
		for(int j=0,l=now.size();j<l;++j)add(delta[i],1ll*f[i-j-1]*now[j]%MOD);
		if(!delta[i])continue;fail[cnt]=i;
		if(!cnt){now.resize(i);++cnt;continue;}
		int inv=(MOD-1ll*delta[i]*fpow(delta[fail[lst]],MOD-2)%MOD)%MOD,l=pre.size();
		cur.clear();cur.resize(i-fail[lst]-1);cur.push_back(MOD-inv);
		for(int j=0;j<l;++j)cur.push_back(1ll*inv*pre[j]%MOD);
		if(now.size()>cur.size())cur.resize(now.size());
		for(int j=0,l=now.size();j<l;++j)add(cur[j],now[j]);
		if(now.size()-i<pre.size()-fail[lst])lst=cnt,pre=now;
		++cnt;now=cur;
	}
	for(int i=0,l=now.size();i<l;++i)printf("%d ",now[i]);
}