CTT=清华集训

题目大意

　　有\(n\)个点，点权为\(a_i\)，你要连接一条边，使该图变成一颗树。

　　对于一种连边方案\(T\)，设第\(i\)个点的度数为\(d_i\)，那么这棵树的价值为：

\[val(T)=(\prod_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m)
\]

　　求所有生成树的价值和\(\bmod 998244353\)

　　\(n\leq 30000,m\leq 30\)

题解

　　很容易想到prufer序列

　　先把式子化简：

\[\begin{align}
ans&=(\prod_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m)\\
&=\sum_{i=1}^nd_i^m(\prod_{j=1}^na_j^{d_j}d_j^m)\\
&=\sum_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^{2m}(\prod_{j=1,j!=i}^na_j^{d_j}d_j^m)\\
\end{align}
\]

　　就是得到排列后选一个数\(i\)，把贡献乘上\(d_i^m\)

　　考虑最简单的做法，记\(f_{i,j}\)为前\(i\)个数，占了\(j\)个空，没有额外的选择一个数的贡献，\(g_{i,j}\)就是选了一个数。

　　很容易得到DP式。这个DP是\(O(n^3)\)的，可以用FFT优化到\(O(n^2\log n)\)

　　注意到\(m\)很小，还记得那个乘方转组合数和斯特林数的套路吗？

　　先在prufer数列后面补上\(1\)~\(n\)，这样写了数字\(i\)的格子个数就是\(d_i\)

　　\(d_i^m\)就是用\(m\)种颜色染\(d_i\)个格子，每种颜色只能染一个格子，每个格子可以染多种颜色的方案数。

　　因为染了颜色的格子很少，所以枚举写了数字\(i\)的格子中染了颜色的格子数量\(k\)，如果染色的格子全在前面，方案数就是\(\binom{n-2-j}{k}\times S(m,k)\times k!\)，贡献就是\(a_i^{k+1}\)。后面有就是\(\binom{n-2-j}{k}\times S(m,k+1)\times (k+1)!\)

　　额外选一个数就把\(m\)改成\(2m\)

　　\(f_{i,j},g_{i,j}\)的意义和以前类似，只不过改成了染色的格子个数是\(j\)。

　　最后枚举染色的格子个数\(i\)，没染色的格子可以随便填数，要乘上\({(\sum_{i=1}^na_i)}^{n-2-i}\)

　　时间复杂度：\(O(n^2m)\)

　　把组合数什么的全部拆开后就能得到一个比较漂亮的式子（其中\(F,G,A,B\)都是多项式）：

\[\begin{align}
F_i&=F_{i-1}A\\
G_i&=G_{i-1}A+F_{i-1}B
\end{align}
\]

　　可以用分治FFT优化。

　　时间复杂度：\(O(nm\log^2 n)\)

代码

暴力

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. #include<algorithm>
  4. #include<cstdlib>
  5. #include<ctime>
  6. #include<utility>
  7. #include<cmath>
  8. #include<functional>
  9. using namespace std;
  10. typedef long long ll;
  11. typedef unsigned long long ull;
  12. typedef pair<int,int> pii;
  13. typedef pair<ll,ll> pll;
  14. void sort(int &a,int &b)
  15. {
  16. 	if(a>b)
  17. 		swap(a,b);
  18. }
  19. void open(const char *s)
  20. {
  21. #ifndef ONLINE_JUDGE
  22. 	char str[100];
  23. 	sprintf(str,"%s.in",s);
  24. 	freopen(str,"r",stdin);
  25. 	sprintf(str,"%s.out",s);
  26. 	freopen(str,"w",stdout);
  27. #endif
  28. }
  29. int rd()
  30. {
  31. 	int s=0,c;
  32. 	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
  33. 	do
  34. 	{
  35. 		s=s*10+c-'0';
  36. 	}
  37. 	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
  38. 	return s;
  39. }
  40. int upmin(int &a,int b)
  41. {
  42. 	if(b<a)
  43. 	{
  44. 		a=b;
  45. 		return 1;
  46. 	}
  47. 	return 0;
  48. }
  49. int upmax(int &a,int b)
  50. {
  51. 	if(b>a)
  52. 	{
  53. 		a=b;
  54. 		return 1;
  55. 	}
  56. 	return 0;
  57. }
  58. const ll p=998244353;
  59. ll h[62][62];
  60. ll f[2][60010];
  61. ll g[2][60010];
  62. ll a[30010];
  63. ll d[30010][62];
  64. ll fac[30010];
  65. ll ifac[30010];
  66. ll inv[30010];
  67. void add(ll &a,ll b)
  68. {
  69. 	a=(a+b)%p;
  70. }
  71. ll fp(ll a,ll b)
  72. {
  73. 	ll s=1;
  74. 	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
  75. 		if(b&1)
  76. 			s=s*a%p;
  77. 	return s;
  78. }
  79. ll getc(int x,int y)
  80. {
  81. 	if(x<y)
  82. 		return 0;
  83. 	return fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p;
  84. }
  85. ll s1[60010][62];
  86. ll s2[60010][62];
  87. ll s3[60010][62];
  88. ll s4[60010][62];
  89. int main()
  90. {
  91. 	freopen("a.in","r",stdin);
  92. 	freopen("a2.out","w",stdout);
  93. 	int n,m;
  94. 	scanf("%d%d",&n,&m);
  95. 	h[0][0]=1;
  96. 	int i,j,k;
  97. 	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
  98. 	for(i=2;i<=2*m||i<=n;i++)
  99. 	{
  100. 		inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
  101. 		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
  102. 		ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
  103. 	}
  104. 	for(i=1;i<=2*m;i++)
  105. 		for(j=1;j<=2*m;j++)
  106. 			h[i][j]=(h[i-1][j-1]+h[i-1][j]*j)%p;
  107. 	for(i=0;i<=2*m;i++)
  108. 		for(j=0;j<=2*m;j++)
  109. 			h[i][j]=h[i][j]*fac[j]%p;
  110. 	for(i=1;i<=n;i++)
  111. 	{
  112. 		scanf("%lld",&a[i]);
  113. 		d[i][0]=1;
  114. 		for(j=1;j<=2*m;j++)
  115. 			d[i][j]=d[i][j-1]*a[i]%p;
  116. 	}
  117. 	for(i=1;i<=n;i++)
  118. 		for(j=0;j<=2*m;j++)
  119. 		{
  120. 			s1[i][j]=ifac[j]*d[i][j]%p*((h[m][j]+h[m][j+1])%p)%p;
  121. 			s2[i][j]=ifac[j]*d[i][j]%p*((h[2*m][j]+h[2*m][j+1])%p)%p;
  122. 		}
  123. 	f[0][0]=1;
  124. 	int t=0;
  125. 	for(i=0;i<n;i++)
  126. 	{
  127. 		t^=1;
  128. 		memset(f[t],0,sizeof f[t]);
  129. 		memset(g[t],0,sizeof g[t]);
  130. 		for(j=0;j<=n-2;j++)
  131. 		{
  132. 			for(k=0;k<=m&&k<=n-2-j;k++)
  133. 			{
  134. 				add(f[t][j+k],f[t^1][j]*s1[i+1][k]);
  135. 				add(g[t][j+k],g[t^1][j]*s1[i+1][k]);
  136. 			}
  137. 			for(k=0;k<=2*m&&k<=n-2-j;k++)
  138. 				add(g[t][j+k],f[t^1][j]*s2[i+1][k]);
  139. 		}
  140. 	}
  141. 	ll ans=0,s=0;
  142. 	for(i=1;i<=n;i++)
  143. 		s=(s+a[i])%p;
  144. 	for(i=0;i<=n-2;i++)
  145. 		ans=(ans+g[t][i]*ifac[n-2-i]%p*fp(s,n-2-i))%p;
  146. 	for(i=1;i<=n;i++)
  147. 		ans=ans*a[i]%p;
  148. 	ans=ans*fac[n-2]%p;
  149. 	ans=(ans+p)%p;
  150. 	printf("%lld\n",ans);
  151. 	return 0;
  152. }

正解

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. #include<algorithm>
  4. #include<cstdlib>
  5. #include<ctime>
  6. #include<utility>
  7. #include<cmath>
  8. #include<functional>
  9. using namespace std;
  10. typedef long long ll;
  11. typedef unsigned long long ull;
  12. typedef pair<int,int> pii;
  13. typedef pair<ll,ll> pll;
  14. void sort(int &a,int &b)
  15. {
  16. 	if(a>b)
  17. 		swap(a,b);
  18. }
  19. void open(const char *s)
  20. {
  21. #ifndef ONLINE_JUDGE
  22. 	char str[100];
  23. 	sprintf(str,"%s.in",s);
  24. 	freopen(str,"r",stdin);
  25. 	sprintf(str,"%s.out",s);
  26. 	freopen(str,"w",stdout);
  27. #endif
  28. }
  29. int rd()
  30. {
  31. 	int s=0,c;
  32. 	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
  33. 	do
  34. 	{
  35. 		s=s*10+c-'0';
  36. 	}
  37. 	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
  38. 	return s;
  39. }
  40. int upmin(int &a,int b)
  41. {
  42. 	if(b<a)
  43. 	{
  44. 		a=b;
  45. 		return 1;
  46. 	}
  47. 	return 0;
  48. }
  49. int upmax(int &a,int b)
  50. {
  51. 	if(b>a)
  52. 	{
  53. 		a=b;
  54. 		return 1;
  55. 	}
  56. 	return 0;
  57. }
  58. const int p=998244353;
  59. int fp(ll a,ll b)
  60. {
  61. 	ll s=1;
  62. 	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p)
  63. 		if(b&1)
  64. 			s=1ll*s*a%p;
  65. 	return s;
  66. }
  67. namespace ntt
  68. {
  69. 	const int g=3;
  70. 	int w1[150000];
  71. 	int w2[150000];
  72. 	int rev[150000];
  73. 	int n;
  74. 	void init(int m)
  75. 	{
  76. 		n=m;
  77. 		int i;
  78. 		for(i=2;i<=n;i<<=1)
  79. 		{
  80. 			w1[i]=fp(g,(p-1)/i);
  81. 			w2[i]=fp(w1[i],p-2);
  82. 		}
  83. 		rev[0]=0;
  84. 		for(i=1;i<n;i++)
  85. 			rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
  86. 	}
  87. 	void ntt(int *a,int t)
  88. 	{
  89. 		int u,v,w,wn;
  90. 		int i,j,k;
  91. 		for(i=0;i<n;i++)
  92. 			if(rev[i]<i)
  93. 				swap(a[i],a[rev[i]]);
  94. 		for(i=2;i<=n;i<<=1)
  95. 		{
  96. 			wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
  97. 			for(j=0;j<n;j+=i)
  98. 			{
  99. 				w=1;
  100. 				for(k=j;k<j+i/2;k++)
  101. 				{
  102. 					u=a[k];
  103. 					v=1ll*a[k+i/2]*w%p;
  104. 					a[k]=(u+v)%p;
  105. 					a[k+i/2]=(u-v)%p;
  106. 					w=1ll*w*wn%p;
  107. 				}
  108. 			}
  109. 		}
  110. 		if(t==-1)
  111. 		{
  112. 			int inv=fp(n,p-2);
  113. 			for(i=0;i<n;i++)
  114. 				a[i]=1ll*a[i]*inv%p;
  115. 		}
  116. 	}
  117. 	void copy(int *a,const vector<int> &b,int len)
  118. 	{
  119. 		int i;
  120. 		for(i=0;i<=len;i++)
  121. 			a[i]=b[i];
  122. 		for(i=len+1;i<n;i++)
  123. 			a[i]=0;
  124. 	}
  125. 	vector<int> back(int *a,int len)
  126. 	{
  127. 		vector<int> s;
  128. 		int i;
  129. 		for(i=0;i<=len;i++)
  130. 			s.push_back(a[i]);
  131. 		return s;
  132. 	}
  133. }
  134. int n,m;
  135. int h[62][62];
  136. int f[2][60010];
  137. int g[2][60010];
  138. int a[30010];
  139. int d[30010][62];
  140. int fac[30010];
  141. int ifac[30010];
  142. int inv[30010];
  143. void add(int &a,int b)
  144. {
  145. 	a=(a+b)%p;
  146. }
  147. int s1[60010][62];
  148. int s2[60010][62];
  149. auto gao(vector<int> &a,vector<int> &b,vector<int> &c,vector<int> &d)
  150. {
  151. 	static int a1[150000],a2[150000],a3[150000],a4[150000],s1[150000],s2[150000];
  152. 	int len=1;
  153. 	int n1=a.size()-1;
  154. 	int n2=b.size()-1;
  155. 	int n3=c.size()-1;
  156. 	int n4=d.size()-1;
  157. 	while(len<=2*n2||len<=2*n4)
  158. 		len<<=1;
  159. 	ntt::init(len);
  160. 	ntt::copy(a1,a,n1);
  161. 	ntt::copy(a2,b,n2);
  162. 	ntt::copy(a3,c,n3);
  163. 	ntt::copy(a4,d,n4);
  164. 	ntt::ntt(a1,1);
  165. 	ntt::ntt(a2,1);
  166. 	ntt::ntt(a3,1);
  167. 	ntt::ntt(a4,1);
  168. 	int i;
  169. 	for(i=0;i<len;i++)
  170. 	{
  171. 		s1[i]=1ll*a1[i]*a3[i]%p;
  172. 		s2[i]=(1ll*a1[i]*a4[i]+1ll*a2[i]*a3[i])%p;
  173. 	}
  174. 	ntt::ntt(s1,-1);
  175. 	ntt::ntt(s2,-1);
  176. 	return make_pair(ntt::back(s1,min(n-2,n1+n3)),ntt::back(s2,min(n-2,max(n1+n4,n2+n3))));
  177. }
  178. auto solve(int l,int r)
  179. {
  180. 	if(l==r)
  181. 	{
  182. 		vector<int> a(m+1),b(2*m+1);
  183. 		int i;
  184. 		for(i=0;i<=2*m;i++)
  185. 		{
  186. 			if(i<=m)
  187. 				a[i]=s1[l][i];
  188. 			b[i]=s2[l][i];
  189. 		}
  190. 		return make_pair(a,b);
  191. 	}
  192. 	int mid=(l+r)>>1;
  193. 	auto L=solve(l,mid);
  194. 	auto R=solve(mid+1,r);
  195. 	return gao(L.first,L.second,R.first,R.second);
  196. }
  197. int main()
  198. {
  199. 	open("a");
  200. 	scanf("%d%d",&n,&m);
  201. 	h[0][0]=1;
  202. 	int i,j,k;
  203. 	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
  204. 	for(i=2;i<=2*m||i<=n;i++)
  205. 	{
  206. 		inv[i]=1ll*-p/i*inv[p%i]%p;
  207. 		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
  208. 		ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%p;
  209. 	}
  210. 	for(i=1;i<=2*m;i++)
  211. 		for(j=1;j<=2*m;j++)
  212. 			h[i][j]=(h[i-1][j-1]+1ll*h[i-1][j]*j)%p;
  213. 	for(i=0;i<=2*m;i++)
  214. 		for(j=0;j<=2*m;j++)
  215. 			h[i][j]=1ll*h[i][j]*fac[j]%p;
  216. 	for(i=1;i<=n;i++)
  217. 	{
  218. 		scanf("%d",&a[i]);
  219. 		d[i][0]=1;
  220. 		for(j=1;j<=2*m;j++)
  221. 			d[i][j]=1ll*d[i][j-1]*a[i]%p;
  222. 	}
  223. 	for(i=1;i<=n;i++)
  224. 		for(j=0;j<=2*m;j++)
  225. 		{
  226. 			s1[i][j]=1ll*ifac[j]*d[i][j]%p*((1ll*h[m][j]+h[m][j+1])%p)%p;
  227. 			s2[i][j]=1ll*ifac[j]*d[i][j]%p*((1ll*h[2*m][j]+h[2*m][j+1])%p)%p;
  228. 		}
  229. //	f[0][0]=1;
  230. 	int t=0;
  231. //	for(i=0;i<n;i++)
  232. //	{
  233. //		t^=1;
  234. //		memset(f[t],0,sizeof f[t]);
  235. //		memset(g[t],0,sizeof g[t]);
  236. //		for(j=0;j<=n-2;j++)
  237. //		{
  238. //			for(k=0;k<=m;k++)
  239. //			{
  240. //				add(f[t][j+k],f[t^1][j]*s1[i+1][k]);
  241. //				add(g[t][j+k],g[t^1][j]*s1[i+1][k]);
  242. //			}
  243. //			for(k=0;k<=2*m;k++)
  244. //				add(g[t][j+k],f[t^1][j]*s2[i+1][k]);
  245. //		}
  246. //	}
  247. 	auto dp=solve(1,n);
  248. 	int ans=0,s=0;
  249. 	for(i=1;i<=n;i++)
  250. 		s=(s+a[i])%p;
  251. 	for(i=0;i<=n-2;i++)
  252. //		ans=(ans+g[t][i]*ifac[n-2-i]%p*fp(s,n-2-i))%p;
  253. 		ans=(ans+1ll*dp.second[i]*ifac[n-2-i]%p*fp(s,n-2-i))%p;
  254. 	for(i=1;i<=n;i++)
  255. 		ans=1ll*ans*a[i]%p;
  256. 	ans=1ll*ans*fac[n-2]%p;
  257. 	ans=(ans+p)%p;
  258. 	printf("%d\n",ans);
  259. 	return 0;
  260. }

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