TarjanLCA学习笔记

1.前言

　　首先我们介绍的算法是LCA问题中的离线算法-Tarjan算法，该算法采用DFS+并查集，再看此算法之前首先你得知道并查集（尽管我相信你如果知道这个的话肯定是知道并查集的），Tarjan算法的优点在于相对稳定，时间复杂度也比较居中，也很容易理解（个人认为）。

2.思想

　　下面详细介绍一下Tarjan算法的思想：

　　　　　　1.任选一个点为根节点，从根节点开始。

　　　　　　2.遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。

　　　　　　3.若是v还有子节点，返回2，否则下一步。

　　　　　　4.合并v到u上。

　　　　　　5.寻找与当前点u有询问关系的点v。

　　　　　　6.若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。

　　从上面步骤可以看出，Tarjan算法要用到并查集。这里，我们使用链式前向星来存储边和询问情况。

3.算法实现

不妨以洛谷P3379：LCA模板题为例题

 #include<cstdio>
 #include<cstring>

 const int maxn = 5e5 + ,maxm = 5e5 + ;
 int fa[maxn],fir[maxn],frt[maxn],ans[maxm],n,m,s,tot,id;
 bool flag[maxn];
 //存边
 struct Edge{
     int v,next;
 }e[maxn << ];
 //存询问
 struct Ques{
     int v,next,qid;
 }q[maxm << ];
 //加边
 void addEdge(int u,int v){
     e[tot] = (Edge){v,fir[u]};
     fir[u] = tot++;
     e[tot] = (Edge){u,fir[v]};
     fir[v] = tot++;
 }
 //加询问
 void addQues(int u,int v,int qid){
     q[id] = (Ques){v,frt[u],qid};
     frt[u] = id++;
     q[id] = (Ques){u,frt[v],qid};
     frt[v] = id++;
 }
 //读入优化
 inline int read(){
     int sum = ;
     char ch = getchar();
     while(ch < '' || ch > '') ch = getchar();
     while(ch >= '' && ch <= ''){sum = sum *  + ch - ''; ch = getchar();}
     return sum;
 }
 //输出优化
 void write(int x){
     if(x / ) write(x / );
     putchar(x %  + '');
 }
 //寻找父亲
 int find(int x){
     if(fa[x] != x) fa[x] = find(fa[x]);
     return fa[x];
 }
 //合并
 void unionn(int x,int y){
     int fx = find(x),fy = find(y);
     fa[fx] = fy;
 }
 //离线操作(u表示当前点，fa表示该点的前驱点)
 void dfs(int u,int fa){
     flag[u] = true;//标记已访问
     //遍历所有与u相连的点
     for(int i = fir[u];i != -;i = e[i].next){
         int v = e[i].v;
         //如果v不是u的前驱
         if(v != fa){
             dfs(v,u);//遍历下一层
             //寻找是否有询问关系
             for(int j = frt[v];j != -;j = q[j].next){
                 int k = q[j].v;
                 if(flag[k])
                     ans[q[j].qid] = find(k);
             }
             unionn(v,u);//连接
         }
     }
 }
 //主函数
 int main(){
     n = read(),m = read(),s = read();
     memset(fir,-,sizeof(fir));
     memset(frt,-,sizeof(frt));
     for(int i = ;i < n;i++){
         fa[i] = i;
         int x = read(),y = read();
         addEdge(x,y);
     }
     fa[n] = n;
     for(int i = ;i <= m;i++){
         int x = read(),y = read();
         addQues(x,y,i);
     }
     dfs(s,-);
     //因为这里已经给出根了，直接从根开始
     for(int i = ;i <= m;i++,putchar('\n')) write(ans[i]);
     return ;
 }