【bzoj4903/uoj300】[CTSC2017]吉夫特 数论+状压dp

题目描述

给出一个长度为 $n$ 的序列，求所有长度大于等于2的子序列个数，满足：对于子序列中任意两个相邻的数 $a$ 和 $b$ （$a$ 在 $b$ 前面），${a\choose b}\mod 2\neq 0$。答案对 $10^9+7$取模。

输入

第一行一个整数 $n$ 。

接下来 $n$ 行，每行一个整数，这 $n$ 行中的第 $i$ 行，表示 $a_i$ 。

$1\le n\le 211985,1\le a_i\le 233333$

输出

一行一个整数表示答案。

样例输入

4
15
7
3
1

样例输出

11

---

题解

数论+状压dp

考虑Lucas定理求组合数的过程： ${n\choose m}\mod 2={{n\mod 2}\choose{m\mod 2}}·{{n/2}\choose{m/2}}\mod 2$

相当于 ${n\mod 2}\choose{m\mod 2}$ 是 $n$ 和 $m$ 的二进制最后一位，如果结果不等于0，则每一次递归的 ${n\mod 2}\choose{m\mod 2}$ 都不能等于0。

考虑实际意义，即不能存在二进制某一位，$n$ 的该位为0， $m$ 的该位为1。那么就相当于 $m$ 是 $n$ 的子集。

设 $f[i]$ 表示以数 $i$ 结尾的满足条件的子序列的数目，那么对于数 $j$ ，如果 ${i\choose j}\mod 2\neq 0$（即满足上面的子集性质），且 $j$ 出现的位置在 $i$ 后面 ，那么就可以从 $j$ 更新到 $i$ ，$f[i]+=f[j]+1$。

可以通过枚举子集的技巧 $j=i\ and\ (j-1)$，使得时间复杂度为 $O(3^{\log_2233333})=O(322137234)=O(能过)$

#include <cstdio>
#define mod 1000000007
int p[233334] , f[233334];
int main()
{
	int n , i , j , x , ans = 0;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &x) , p[x] = i;
	for(i = 1 ; i <= 233333 ; i ++ )
		if(p[i])
			for(j = i & (i - 1) ; j ; j = i & (j - 1))
				if(p[j] > p[i])
					f[i] = (f[i] + f[j] + 1) % mod;
	for(i = 1 ; i <= 233333 ; i ++ ) ans = (ans + f[i]) % mod;
	printf("%d\n" , ans);
	return 0;
}