[SDOI2008]仪仗队 (洛谷P2158)

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题目描述

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。



现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

输入输出格式

输入格式：

共一个数N

输出格式：

共一个数，即C君应看到的学生人数。

输入输出样例

输入样例#1：

4

输出样例#1：

9

说明

【数据规模和约定】

对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

一句话题意: 一个\(n*n\)的矩阵, 问从左下角的位置能看到多少点(在前面的会把在后面的挡住).

题解: 可以把最左下角的点当做坐标原点建系,这样一个点到原点的直线的斜率就是\(y/x\),如果要能看见这个点,那么这个点就满足条件\(gcd(x,y)=1\)(即\(x,y\)互质(因为这样保证了他们中间没有点).如果看不懂这一步可以先做一下兔八哥与猎人

那么问题就转化成了求$$\sum^{{n-1}_{i=1}\sum}{n-1}{j=1}(gcd(i,j)=1)$$,因为这个正方形可以从中间对称看过去,也就是只考虑半边的情况,然后将答案乘二加一(对称轴上有一个).那么就可以将上面那个式子变一下形$$\sum^{n-1}{i-1}\varphi(i)$$

那么直接求一遍欧拉函数就可以了.

另外注意一下,因为是直接特判的对称轴的情况,所以当\(n=1\)的时候也要特判.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=40000+5;

int n, prime[N], size = 0, phi[N], ans = 0;
bool is_prime[N];

void get_phi(int lim){
    memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    phi[1] = 1;
    for(int i=2;i<=lim;i++){
        if(is_prime[i])
            prime[++size] = i, phi[i] = i-1;
        for(int j=1;j<=size && i*prime[j] <= lim;j++){
            is_prime[i*prime[j]] = 0;
            if(i % prime[j] == 0){phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];break;}
            else phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

int main(){
    cin >> n; get_phi(n);
    if(n == 0 || n == 1) printf("0\n"), exit(0);
    for(int i=1;i<n;i++) ans += phi[i];
    printf("%d\n",ans*2+1);
    return 0;
}