Strongly connected

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题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4635

Description:

Give a simple directed graph with N nodes and M edges. Please tell me the maximum number of the edges you can add that the graph is still a simple directed graph. Also, after you add these edges, this graph must NOT be strongly connected.
A simple directed graph is a directed graph having no multiple edges or graph loops.
A strongly connected digraph is a directed graph in which it is possible to reach any node starting from any other node by traversing edges in the direction(s) in which they point. 

Input:

The first line of date is an integer T, which is the number of the text cases.
Then T cases follow, each case starts of two numbers N and M, 1<=N<=100000, 1<=M<=100000, representing the number of nodes and the number of edges, then M lines follow. Each line contains two integers x and y, means that there is a edge from x to y.

Output:

For each case, you should output the maximum number of the edges you can add.
If the original graph is strongly connected, just output -1.

Sample Input:

3
3 3
1 2
2 3
3 1
3 3
1 2
2 3
1 3
6 6
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
6 4

Sample Output:

Case 1: -1
Case 2: 1
Case 3: 15

题意:

给出一个有向图,保证图中无重边。现在要求加尽量多的边,使得最终的图不是强连通的,即任意两点可以互相到达,并且图中无重边。

题解:

可以想到,最终的图是一个二部图,设左边这部分为X,右边这部分为Y,那么X,Y之间只有单向边,同时X,Y中所有点都是强连通的,此时满足条件。

现在的问题就是这么确定这个X,Y。假设X中有x个点,同理,Y中有y个点,然后来计算一波:

此时图中的边数为x*(x-1)+y*(y-1)+x*y=x2+y2+x*y-x-y=(x+y)2-x*y-x-y=n2-n-x*y。现在要使得边数最大,那么x*y就尽量小,又因为x+y为定值,那么要么x尽可能小,要么y尽可能小就是了。

然后由于图中可能存在环,我们就先用Tarjan缩点,然后选取包含点数最少,并且出度或者入度为0的那个点作为X部,之后计算一波就行了。

代码如下:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+;
int t,n,m,tot;
int head[N],num[N],in[N],out[N];
stack <int> s;
struct Edge{
int u,v,next;
}e[N<<],g[N<<];
void adde(int u,int v){
e[tot].u=u;e[tot].v=v;e[tot].next=head[u];head[u]=tot++;
}
int T,cc;
int scc[N],dfn[N],low[N],vis[N];
void Tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++T;vis[u]=;
s.push(u);
for(int i=head[u];i!=-;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(!vis[v]){
Tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}else if(!scc[v]){
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(low[u]==dfn[u]){
cc++;int now;
do{
now = s.top();s.pop();
scc[now]=cc;
num[cc]++;
}while(!s.empty() && now!=u);
}
}
int main(){
cin>>t;
int Case=;
while(t--){
Case++;
memset(head,-,sizeof(head));tot=;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
g[i].u=u;g[i].v=v;
adde(u,v);
}
memset(dfn,,sizeof(dfn));
memset(scc,,sizeof(scc));T=;
memset(vis,,sizeof(vis));cc=;
memset(num,,sizeof(num));
memset(in,,sizeof(in));
memset(out,,sizeof(out));
for(int i=;i<=n;i++){
if(!vis[i]) Tarjan(i);
}
printf("Case %d: ",Case);
if(cc==){
puts("-1");
continue ;
}
for(int i=;i<=m;i++){
int u=g[i].u,v=g[i].v;
if(scc[u]==scc[v]) continue ;
in[scc[v]]++;out[scc[u]]++;
}
ll tmp = n*(n-)-m;
ll ans = ;
for(int i=;i<=cc;i++){
if(!in[i] || !out[i]) ans=max(ans,tmp-num[i]*(n-num[i]));
}
cout<<ans<<endl;
}
return ;
}

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