Bellman-Ford算法及SPFA算法的思路及进一步优化

Bellman-Ford算法

算法

以边为研究对象的最短路算法。

应用场景

1. 有负边权的最短路问题。

2. 负环的判定。

算法原理

1. \(n\) 个点的最短路径最多经过 \(n - 1\) 条边。

2. 每条边要么经过，要么不经过，对于一条边的两个端点 \(x\) 和 \(y\)。
   
   所以我们把每一条边都枚举一遍看是否可以进行松弛。

3. 将步骤 \(2\) 重复 \(n - 1\) 轮后，\(dis[i]\) 即为起点到达点 \(i\) 的最短路。

代码：

for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
	for (int j = 1; j <= m; j++)
		if (dis[e[j].x] + e[j].w < dis[e[j].y])
			dis[e[j].y] = dis[e[j].x] + e[j].w;

时间复杂度

显然是\(O(nm)\)。

Bellman-Ford算法的队列优化(SPFA)

1. 一个点只会松弛它的邻接点，因此，只有 \(x\) 的邻接点的 \(y\) 被松驰过，点 \(x\) 才有松弛的必要。

2. 用队列维护被松弛过的点集。

3. 对于随机数据优化明显，但是最坏情况时间复杂度仍然为 \(O(nm)\)。

模板：Luogu P3371

1.SPFA代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 10010, M = 500010, INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
    int to;
    int next;
    int w;
}e[M];

int head[N], idx;

void add(int a, int b, int c)
{
    idx++, e[idx].to = b, e[idx].next = head[a], e[idx].w = c, head[a] = idx;
}

int n, m, s;
int dis[N];

void spfa(int u)
{
    queue<int> q;
    q.push(u);
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[u] = 0;

    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();

        for (int i = head[t]; i; i = e[i].next)
        {
            int to = e[i].to;
            if (dis[to] > dis[t] + e[i].w)
            {
                dis[to] = dis[t] + e[i].w;
                q.push(to);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m >> s;

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }

    spfa(s);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (dis[i] == INF) cout << INT_MAX << ' ';
        else cout << dis[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

2. 优化1：加一个st数组，防止元素重复进队列。

快了215ms

重点关注第27,35,41,49,50,51,52,53行。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 10010, M = 500010, INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
    int to;
    int next;
    int w;
}e[M];

int head[N], idx;

void add(int a, int b, int c)
{
    idx++, e[idx].to = b, e[idx].next = head[a], e[idx].w = c, head[a] = idx;
}

int n, m, s;
int dis[N];
bool st[N];

void spfa(int u)
{
    queue<int> q;
    q.push(u);
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[u] = 0;
    st[u] = true;

    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;

        for (int i = head[t]; i; i = e[i].next)
        {
            int to = e[i].to;
            if (dis[to] > dis[t] + e[i].w)
            {
                dis[to] = dis[t] + e[i].w;
                if (!st[to])
                {
                    st[to] = true;
                    q.push(to);
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m >> s;

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }

    spfa(s);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (dis[i] == INF) cout << INT_MAX << ' ';
        else cout << dis[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

3. 优化2：SLF 优化

每次压入队列时，是看放后面还是前面，所以需要双端队列。

快了18ms

重点关注代码第31,52,53行。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 10010, M = 500010, INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
    int to;
    int next;
    int w;
}e[M];

int head[N], idx;

void add(int a, int b, int c)
{
    idx++, e[idx].to = b, e[idx].next = head[a], e[idx].w = c, head[a] = idx;
}

int n, m, s;
int dis[N];
bool st[N];

void spfa(int u)
{
    deque<int> q;
    q.emplace_back(u);
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[u] = 0;
    st[u] = true;

    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop_front();
        st[t] = false;

        for (int i = head[t]; i; i = e[i].next)
        {
            int to = e[i].to;
            if (dis[to] > dis[t] + e[i].w)
            {
                dis[to] = dis[t] + e[i].w;
                if (!st[to])
                {
                    st[to] = true;
                    if (q.size() && dis[q.front()] >= dis[to]) q.emplace_front(to);
                    else q.emplace_back(to);
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m >> s;

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }

    spfa(s);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (dis[i] == INF) cout << INT_MAX << ' ';
        else cout << dis[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

4. 优化3：此优化仅针对不开O2优化时。

使用循环队列进行优化（我改编的）。

(开了O2优化效果不明显，亲自测试在跑网络流时快了800ms，TLE->AC)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 10010, M = 500010, INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
    int to;
    int next;
    int w;
}e[M];

int head[N], idx;

void add(int a, int b, int c)
{
    idx++, e[idx].to = b, e[idx].next = head[a], e[idx].w = c, head[a] = idx;
}

int n, m, s;
int dis[N];
bool st[N];

int q[N];
int hh, tt;
int sz;

void push_back(int x)
{
    sz++;
    q[tt++] = x;
    if (tt == N) tt = 0;
}

void push_front(int x)
{
    sz++;
    hh--;
    if (hh == -1) hh = N - 1;
    q[hh] = x;
}

void pop_back()
{
    sz--;
    tt--;
    if (tt == -1) tt = N - 1;
}

void pop_front()
{
    sz--;
    hh++;
    if (hh == N) hh = 0;
}

void spfa(int u)
{
    push_back(u);
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[u] = 0;
    st[u] = true;

    while (sz)
    {
        int t = q[hh];
        pop_front();
        st[t] = false;

        for (int i = head[t]; i; i = e[i].next)
        {
            int to = e[i].to;
            if (dis[to] > dis[t] + e[i].w)
            {
                dis[to] = dis[t] + e[i].w;
                if (!st[to])
                {
                    st[to] = true;
                    if (sz && dis[q[hh]] >= dis[to]) push_front(to);
                    else push_back(to);
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m >> s;

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }

    spfa(s);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (dis[i] == INF) cout << INT_MAX << ' ';
        else cout << dis[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

5. 优化4：LLL优化

如果当前队首元素 \(t\),队列长度为 \(size\),队列里各元素和为 \(sum\) ,有 \(dis[t] \times size \leq sum\)，才取队首。

否则把队首元素压入队尾并弹出队首。

效果好像不怎么明显

重点关注代码的第68,72,73,74,75,76,91行。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 10010, M = 500010, INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
    int to;
    int next;
    int w;
}e[M];

int head[N], idx;

void add(int a, int b, int c)
{
    idx++, e[idx].to = b, e[idx].next = head[a], e[idx].w = c, head[a] = idx;
}

int n, m, s;
int dis[N];
bool st[N];

int q[N];
int hh, tt;
int sz;

void push_back(int x)
{
    sz++;
    q[tt++] = x;
    if (tt == N) tt = 0;
}

void push_front(int x)
{
    sz++;
    hh--;
    if (hh == -1) hh = N - 1;
    q[hh] = x;
}

void pop_back()
{
    sz--;
    tt--;
    if (tt == -1) tt = N - 1;
}

void pop_front()
{
    sz--;
    hh++;
    if (hh == N) hh = 0;
}

void spfa(int u)
{
    push_back(u);
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[u] = 0;
    st[u] = true;
    int sum = dis[u];

    while (sz)
    {
        while (dis[q[hh]] * sz > sum)
        {
            push_back(q[hh]);
            pop_front();
        }
        int t = q[hh];
        pop_front();
        st[t] = false;
        sum -= dis[t];

        for (int i = head[t]; i; i = e[i].next)
        {
            int to = e[i].to;
            if (dis[to] > dis[t] + e[i].w)
            {
                dis[to] = dis[t] + e[i].w;
                if (!st[to])
                {
                    st[to] = true;
                    sum += dis[to];
                    if (sz && dis[q[hh]] >= dis[to]) push_front(to);
                    else push_back(to);
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m >> s;

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }

    spfa(s);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (dis[i] == INF) cout << INT_MAX << ' ';
        else cout << dis[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

本文终