[POJ2891]Strange Way to Express Integers公式推导

没啥事干，想着推个式子玩玩。

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题目链接

题意不过多赘述，直接上过程：

由题意得

\[\begin{cases} x\equiv a_1\,(mod\,\, n_1) \\ x\equiv a_2\,(mod\,\, n_2) \end{cases}
\]

展开 得

\[x=k_1· n_1+a_1=k_2· n_2+a_2\dots ①
\]

移项 得

\[k_1· n_1=(a_2-a_1)+k_2· n_2
\]

\[k_1· n_1\equiv a_2-a_1\,(mod\,\, n_2)
\]

令\(d=gcd(n_1,n_2)\)，\(r=a_2-a_1\)。

可知：当\(d\mid r\)时，原式有解。

则有

\[k_1· n_1\equiv r\,(mod\,\, n_2)
\]

\[k_1\frac{n_1}{d}\equiv \frac{r}{d}\,(mod\,\,\frac{n_2}{d})
\]

\[k_1\equiv\frac{r}{d}·(\frac{n_1}{d})^{-1}\,(mod\,\,\frac{n_2}{d})
\]

存在$$k=\frac{r}{d}·(\frac{n_1}{d})^{-1}$$

使

\[k_1\equiv k\, (mod\,\,\frac{n_2}{d})
\]

即$$k_1=R·\frac{n_2}{d}+k\dots②$$

联立①②得

\[x=(k+R·\frac{n_2}{d})· n_1+a_1
\]

\[x=k·n_1+a_1+R·\frac{n_1·n_2}{d}
\]

最后

\[x=y\pmod n
\]

其中$$y=k·n_1+a_1,n=\frac{n_1·n_2}{d}$$

证毕。

有错误的话欢迎大家指出说明ლ(′◉❥◉｀ლ)。

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完结撒花