CF1583H Omkar and Tours 题解

题意：

给定一个 \(n\) 个点的树，每条边有权值 \(t\) 和 \(c\)。一条路径的权值为所经过节点的 \(\max(c)\)。

每个点有权值 \(e\)。

给出 \(q\) 个询问，每次询问给定起点 \(x\) 和限制 \(v\)，求一条简单路径满足路径上所有边的 \(t\) 都大于等于 \(v\)，且终点的点权最大，在这个基础上这条路径的权值最大。求这个最大点权和最大路径权值。

首先考虑离线，把询问按 \(v\) 从大到小排序，把边按 \(t\) 从大到小排序，类似双指针，就可以去掉这个限制。

若 \(e\) 互不相同，有一个显然的并查集维护连通块最大值及其编号的算法，再加上各种方法求任意两点间的最大边的边权。加入一条边，如果连通性有改变，相应的并查集维护的东西也要改变。

但是 e 相同时，上述操作需要微调。具体：只需要调整并查集的合并操作和最后的求值操作。

如果合并的两个区间的最大 e 不相同，就往大的一边赋值。如果相同，则需要多维护一个东西。需要维护每个联通块的最大权边，满足其两个端点对应的两个连通块都有整个连通块的最大 e。因为一定是一棵树，所以无论询问给定的起点在哪里，这条边都是可以被作为简单路径的一条边经过的——如果起点在左边，那走到右边的最大 e 一定会经过这条边，反之亦然。想象一下，若当前连通块有有很多个点的 \(e\) 都为最大 \(e\)，如果最终答案不是维护的那个最大边，就一定在一些“边缘地段”，而边缘地段到任何一个最大 e 的路径，都一定要包含离其最近一个最大 e 的路径（走一端没有最大 e，另一端一定会碰到一个最大 e，碰到第一个之后才会碰到更多的）。

所以对于询问点，跟任意一个最大 e 求树上路径最大值，都等价于跟最近的最大 e 求树上路径最大值，对于这个最大值，再跟这个连通块维护的最大边取较大的一方，就是答案（最大路径权值）。至于第一个询问：最大点权，就是最大 e，容易维护。