POJ 3537 Crosses and Crosses 博弈论 SG函数 记忆化搜索

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题意

• 两人在一个长为n * 1的棋盘上下棋，两人持相同棋子，如果某人下完之后，棋盘上有三个棋子相连，则此人获胜。给出n，求是否先手必胜。

思路

• 一开始分析成了最少取3个，最多取5个的巴什博弈。但是可以发现，两人并不一定从两边下，也可能从中间下，所以不能使用巴什博弈的模型

• 考虑当前长度为n，棋下到x位置后的情况。可以看到局面变成了两个子游戏(x - 3)与(n - x - 2) 。我们可以设计SG函数，然后记忆化搜索2000内的所有SG函数值。

• 这个题的SG函数设计比较明显，当n == 0时 SG(n)为0，然后对于一个博弈中的一个决策（也就是n的一个后继局面），其SG函数是两个子博弈的SG函数值的异或和，而n的SG值，就是所有后继局面（也就是n个位置的不同决策）的SG函数值中未出现的最小整数。

• 这样我们进行记忆化搜索，时间空间复杂度都是n2级别，可以接受，最终SG(n)是0时先手必败，反之先手必胜。

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2000;

int ff[N + 5] = {0};

int dfs(int o)
{
	if (o < 0)
	{
		return 0;
	}
	if (ff[o] != -1)
	{
		return ff[o];
	}
	bool mm[N + 5] = {0};
	for (int i = 1; i <= o; ++i)
	{
		mm[dfs(i - 3) ^ dfs(o - i - 2)] = true;
	}
	int l = -1;
	while (mm[++l]);
	return ff[o] = l;
}

int main()
{
	memset(ff, -1, sizeof(ff));
	ff[0] = 0;
	int n;
	while (scanf("%d", &n) == 1)
	{
		printf(dfs(n) ? "1\n" : "2\n");
	}
	return 0;
}