Romantic HDU - 2669（扩欧）

扩展欧几里得模板

扩展欧几里德算法——找出一对整数(x,y)， 使得ax+by = gcd(a,b)。 注意， 这里的x和y不一定是正数， 也可能是负数或者0。 例如， gcd(6,15)=3， 6*3-15*1=3， 其中x=3， y=-1。 这个方程还有其他解， 如x=-2， y=1。

void gcd(int a, int b, int& d, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        gcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

用数学归纳法并不难证明该算法的正确性， 此处略去。 注意在递归调用时， x和y的顺序变

了， 而边界也是不难得出的： gcd(a,0)=1⋅a-0*0=a。 这样， 唯一需要记忆的是y-=x*(a/b)， 哪

怕暂时不懂得其中的原因也不要紧。

上面求出了ax+by=gcd(a,b)的一组解(x1,y1)， 那么其他解呢？ 任取另外一组解(x2,y2)，

则ax1+by1=ax2+by2（ 它们都等于gcd(a,b)） ， 变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。 假设gcd(a,b)=g， 方程

左右两边同时除以g， 得a'(x1-x2)=b' (y2-y1)， 其中a'=a/g， b'=b/g。 注意， 此时a'和b'互素，

因此x1-x2一定是b'的整数倍。 设它为kb'， 计算得y2-y1=ka'。 注意， 上面的推导过程并没有用

到“ax+by的右边是什么”， 因此得出如下结论。

即：设a, b, c为任意整数。 若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0)， 则它的任

意整数解都可以写成(x0+kb', y0-ka')， 其中a'=a/gcd(a,b)， b'=b/gcd(a,b)， k取任意整数。

以上内容均参考自刘汝佳的《算法竞赛入门经典》

题目代码及讲解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        gcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    //freopen("output.txt", "w", stdout);
    LL a, b;
    LL x, y;
    while(cin >> a >> b)
    {
        LL x, y, d;
        gcd(a, b, d, x, y);     //在这里产生一组解
        if(d != 1)      //要满足题目所给的等式，就必须要求a, b的最大公约数为1
            cout << "sorry" << endl;
        else
        {
            while(x < 0)
            {
                x += b / 1;     //它的任意整数解都可以写成(x0+kb', y0-ka')，直到x不为负数为止
            	y -= a / 1;
            }
            cout << x << " " << y << endl;
        }

    }
}