Codeforces 1109D. Sasha and Interesting Fact from Graph Theory 排列组合,Prufer编码

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/CF1109D.html

题意

所有边权都是 [1,m] 中的整数的所有 n 个点的树中，点 a 到点 b 的距离恰好是 m 的有几个。

$$n,m\leq 10^6$$

题解

首先显然 a 和 b 的具体值是没用的。

于是我们就可以直接计数：

枚举树链 ab 上除了 a 和 b 有几个节点，假设是 i 个节点，那么这种情况下的方案总数是多少？

首先，ab 路径上 i+1 条 [1,m] 的边的和是 m ，共有 $\binom{m-1}{i}$ 种边权的取值；

然后，ab 路径上共有 i 个点，方案数是从剩下的 n-2 个点种选出 i 个并排列，即 $\binom{n-2}i i!$ 。

然后，剩下的 n-2-i 条边每条都有 m 种取值，方案数是 $m^{n-2-i}$ 。

最后，考虑生成树的个数，用 prufer 序列的结论推一推就可以知道方案数是 $n^{n-3-i}(i+2)$ 。

所以答案是

$$\sum_{i=0}^{n-2} \binom{n-2}{i}\binom{m-1}{i}m^{n-2-i}n^{n-3-i}i!(i+2)$$

UPD(2019-03-04): 更新一下关于那个 prufer 编码推出的公式的证明：

prufer 编码有几个性质：

1. 假如是 n 个点，那么编码长度为 n-2 ，且每一个位置可以放 1~n 之间的任意数，每一个 prufer 编码与每一个树一一对应。

2. 假设树中一个点 x 的度是 d[x] ，那么在对应的 prufer 编码中，x 出现 d[x]-1 次。

假设我们有 n 个点，被分成了 k 个点集，每个点集里的点已经连通，不同点集之间的点两两无边，现在我们要在这个 n 个点 n-k 条边的基础上求生成树个数。设第 i 个点集包含的点数为 size[i] 。

那么，如果我们把这 k 个点集每一个点都看作一个点，做一个 k 个点的生成树，那么有 $k^{k-2}$ 种方案；但是由于这里的每一个点都是一个点集，所以假设它是点集 i，那么从他连出去的每一条边的属于集合i的端点，都有 size[i] 种选法。也就是说，对于一个 k 个点的 prufer 编码，假设在这个编码中，数字 i 出现了 c[i] 次，那么这个编码对应到原树上就会贡献 $\prod_{i=1}^k size[i] ^ {c[i]+1} $ 次。

我们把每一个 "c[i]+1" 中多出来的 1 提出，看作常量，我们来对于所有 prufer 编码求贡献总和：

$$\sum_{P是一个prufer编码}\ \ \ \ \ \prod_{i=1}^k size[i] ^ {c[i]}$$ 。

考虑到这个prufer编码的每一位选择第 i 个点集，就会对乘积有 $size[i]$ 的贡献，根据乘法分配律，我们可以得到上面的那个式子就是： $(\sum_{i=1}^k size[i])^{k-2} = n ^ {k-2}$ 。

再乘上之前提出的东西，所以答案就是：

$$(\sum_{i=1}^k size[i])^{k-2} \cdot \prod_{i=1}^k size[i] $$

本题要求的那个，只是这个模型的弱化版。至此已经可以解决这个问题了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=1000005,mod=1e9+7;
int n,m,a,b;
int Fac[N],Inv[N];
int C(int n,int m){
	if (m>n||m<0)
		return 0;
	return (LL)Fac[n]*Inv[m]%mod*Inv[n-m]%mod;
}
int Pow(int x,int y){
	if (y<0)
		return Pow(x,y+mod-1);
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
void init(int n){
	for (int i=Fac[0]=1;i<=n;i++)
		Fac[i]=(LL)Fac[i-1]*i%mod;
	Inv[n]=Pow(Fac[n],mod-2);
	for (int i=n;i>=1;i--)
		Inv[i-1]=(LL)Inv[i]*i%mod;
}
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
int main(){
	n=read(),m=read(),a=read(),b=read();
	init(max(n,m));
	int ans=0;
	for (int i=0;i<=n-2;i++)
		Add(ans,(LL)C(n-2,i)*C(m-1,i)%mod*Fac[i]%mod
					*Pow(m,n-2-i)%mod*Pow(n,n-3-i)%mod*(i+2)%mod);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}