[PE182]RSA encryption
https://projecteuler.net/problem=182
题意:
找出满足下列条件的所有$e$ 的和,
- $1 < e < \varphi \left( {1009,3643} \right)$
- $gcd(e,φ)=1$
- 满足${m^e} \equiv m{\rm{ }}\bmod {\rm{ }}n$ 的$m$的个数最小
解答:
这道题最重要的就是解决这个问题:
${m^e} \equiv m{\rm{ }}\bmod {\rm{ }}n$ 中$e$确定时,$m$的取值的个数。
由于n是合数,且 $n = p*q$ ,所以先考虑${m^e} \equiv m{\rm{ }}\bmod {\rm{ }}p$ 和 ${m^e} \equiv m{\rm{ }}\bmod {\rm{ }}q$ ,
$m({m^{e - 1}} - 1) \equiv 0{\rm{ }}\bmod {\rm{ }}p$ , $p$ 是质数
- $m==0$ ,恒成立
- $m!=0$ ,${m^{e - 1}} \equiv 1\bmod {\rm{ }}p$
考虑 ${a^b} \equiv 1\bmod p$ ,$a$ 、$p$ 互素,此式中$b$确定时,$a$的个数
因为$p$ 为素数,所以必存在原根$r$ ,使得$ a= {r^k}$ ,
${r^{kb}} = 1{\rm{ }}\bmod {\rm{ }}p$
这里很容易联想到关于${a^k}\bmod {\rm{ }}p$的阶那个公式,
$ord({r^b}) = \frac{{\varphi (p)}}{{(\varphi (p),b)}},(r,p) = = 1$
变换一下位置,
$(\varphi (p),b) = \frac{{\varphi (p)}}{{ord({r^b})}},(r,p) = = 1$
${r^{ord({r^b})}}$ ,${r^{2ord({r^b})}}$ ,...,${r^{(\varphi (p ),b )ord({r^b})}}$就是使上式成立的$a$的可能取值,
所以左边就是解的个数。
所以最初的解为$\gcd (\varphi (p),b) = \gcd (p - 1,b)$
回到上面,还有$m==0$ 的情况,
所以解为$\gcd (\varphi (p),b)+1 = \gcd (p - 1,b)+1$
再看如何解决模数不为质数的问题,这里 就需要用到中国剩余定理,根据中国剩余定理,每一对$p$ 和 $q$ ,就会产生一个解,依据乘法原理,所以最后的解为$[\gcd (p - 1,e - 1) + 1]*[\gcd (q - 1,e - 1) + 1]$
接下来:就是枚举$e$ 的问题了
- 直接进行暴力
- 观察$e$,因为$\gcd ((p - 1)(q - 1),e ) = = 1$ ,故$e$ 为奇数,$e-1$ 为偶数, $\gcd (e - 1,p - 1) > = 2$ ,
$\gcd (e - 1,q - 1) > = 2$ ,这里确定了两个gcd的下界的最小值,而且显然这两个下界在枚举$e$ 的过程中是可以取到的,所以这里可以直接判断最小的情况。
复杂度:$O(n\log n)$ ,其中$logn$ 是辗转相除的复杂度,证明见维基百科。
代码1:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=<<;
ll p=,q=,factor[];
ll n=q*p,phi=(p-)*(q-),mi=inf,ans;
int main(){
for(ll i=;i<phi;++i) if(__gcd(i,phi)==) factor[i]=(__gcd(i-,p-)+)*(__gcd(i-,q-)+),mi=min(mi,factor[i]);
for(ll i=;i<phi;++i) if(factor[i]==mi) ans+=i;
printf("%lld\n",ans);
}
代码2:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=<<;
ll p=,q=;
ll n=q*p,phi=(p-)*(q-),ans;
int main(){
for(ll i=;i<phi;++i) if(__gcd(i,phi)==&&__gcd(i-,q-)==&&__gcd(i-,p-)==) ans+=i;
printf("%lld\n",ans);
}
[PE182]RSA encryption的更多相关文章
- PKCS #1 RSA Encryption Version 1.5
PKCS #1 RSA Encryption Version 1.5 在进行RSA运算时需要将源数据D转化为Encryption block(EB).其中pkcs1padding V1.5的填充模式 ...
- PKCS #1 RSA Encryption Version 1.5 填充方式
在进行RSA运算时需要将源数据D转化为Encryption block(EB).其中pkcs1padding V1.5的填充模式安装以下方式进行 (1) EB = 00+ BT+PS +00 + D ...
- RSA算法
RSA.h #ifndef _RSA_H #define _RSA_H #include<stdio.h> #include<iostream> #include<mat ...
- Windows phone应用开发[19]-RSA数据加密
在这个系列的第十六章节中Windows phone应用开发[16]-数据加密 中曾详细讲解过windows phone 常用的MD5,HMAC_MD5,DES,TripleDES[3DES] 数据加密 ...
- rsa && sha1 js code
jsbn.js /* * Copyright (c) 2003-2005 Tom Wu * All Rights Reserved. * * Permission is hereby granted, ...
- Go加密解密之RSA[转]
安全总是很重要的,各个语言对于通用的加密算法都会有实现.前段时间,用Go实现了RSA和DES的加密解密,在这分享一下.(对于RSA和DES加密算法本身,请查阅相关资料) 在PHP中,很多功能经常是一个 ...
- RSA (cryptosystem)
https://en.wikipedia.org/wiki/RSA_(cryptosystem) RSA is one of the first practical实用性的 public-key cr ...
- Java 进行 RSA 加解密时不得不考虑到的那些事儿
1. 加密的系统不要具备解密的功能,否则 RSA 可能不太合适 公钥加密,私钥解密.加密的系统和解密的系统分开部署,加密的系统不应该同时具备解密的功能,这样即使黑客攻破了加密系统,他拿到的也只是一堆无 ...
- OpenSSL中的大数接口与基于其的自用RSA加密接口设计
本文记录了初次接触OpenSSL中的大数模块,重温了RSA加密流程,使用OpenSSL的接口包装成自用RSA加密接口,并且利用自己的接口演示了Alice与Bob通过RSA加密进行通讯的一个示例. 概览 ...
随机推荐
- access变转换为mysql表工具
1.一个是国外软件,名字叫Access2MySQL,下载地址:http://www.pc6.com/softview/SoftView_7187.html 2.第二款软件是月光博客写的一个小软件:DB ...
- 转载 ----MAC 上搭建lua
MAC 上搭建lua 其实mac上搭建lua环境,google上大把资料,我只是整合一下,因为小弟搭建的时候确实碰到一些问题. 下载和安装lua:(转自这里) 1. 下载最新版的lua-5.2. ...
- python 基础 3.2 文件 for 练习
#/usr/bin/python #coding=utf-8 #@Time :2017/11/1 22:19 #@Auther :liuzhenchuan #@File :1030-1031练 ...
- TCP/IP状态详解
今天犯懒了,本来自己也做了一些相应的笔记,但是发现这篇写的更好一些,简单易懂,而且有图有真相,为了方便以后查看,在此转载了,在此基础上加了自己的笔记 TCP正常建立和关 ...
- 【BZOJ2457】[BeiJing2011]双端队列 贪心+模拟
[BZOJ2457][BeiJing2011]双端队列 Description Sherry现在碰到了一个棘手的问题,有N个整数需要排序. Sherry手头能用的工具就是若 ...
- java的Access restriction错误
问 :import sun.management.ManagementFactory,我在rt包下已经找到sun.management.ManagementFactory,但就是有错,请问怎么回事. ...
- 九度OJ 1164:旋转矩阵 (矩阵运算)
时间限制:1 秒 内存限制:32 兆 特殊判题:否 提交:3188 解决:1245 题目描述: 任意输入两个9阶以下矩阵,要求判断第二个是否是第一个的旋转矩阵,如果是,输出旋转角度(0.90.180. ...
- 【题解】P1156垃圾陷阱
[题解]P1156 垃圾陷阱 乍看此题,我们感觉状态很多,很复杂. 遇到这类型条件比较多的\(dp\),我们不要首先考虑全部设出来,而是要看到这些状态的本质.而在这道题目中,时间和高度就是关键. 考虑 ...
- Nodejs 中常见的加密算法:RSA(1)
Linux用户(以Ubuntu为例) $ openssl 进入OpenSSL程序 OpenSSL> genrsa -out rsa_private_key.pem 1024 生成私钥 OpenS ...
- ubuntu下安装redis以及redis客户端在mac下的使用
ubuntu下安装redis http://blog.fens.me/linux-redis-install/ 此方式利用brew安装包去获取最新的rdm客户端 资源失效了 https://www.j ...