【bzoj3105】[cqoi2013]新Nim游戏 高斯消元求线性基

题目描述

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

输入

第一行为整数k。即火柴堆数。第二行包含k个不超过10⁹的正整数，即各堆的火柴个数。

输出

输出第一回合拿的火柴数目的最小值。如果不能保证取胜，输出-1。

样例输入

6
5 5 6 6 5 5

样例输出

21

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题解

高斯消元求线性基

Nim游戏先手必胜条件：每堆数量的异或和不为0。

那么先手要做的就是不让后手拿走后异或和为0，所以要留下线性无关组，并且数量应该最多。

所以按照个数从小到大排序，优先选择个数较小的作为线性基，并加到答案中。

由于线性基一定存在，所以不存在先手必败的情况，所以不需要判断“-1”。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 110
using namespace std;
struct data
{
	int num , v;
}a[N];
bool vis[N];
bool cmp(data a , data b)
{
	return a.num > b.num;
}
int main()
{
	int n , i , j , k;
	long long sum = 0;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i].num) , a[i].v = a[i].num , sum += a[i].num;
	sort(a + 1 , a + n + 1 , cmp);
	for(i = 1 << 30 ; i ; i >>= 1)
	{
		for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
			if(!vis[j] && a[j].v & i)
				break;
		if(j > n) continue;
		sum -= a[j].num , vis[j] = 1;
		for(k = 1 ; k <= n ; k ++ )
			if(!vis[k] && a[k].v & i)
				a[k].v ^= a[j].v;
	}
	printf("%lld\n" , sum);
	return 0;
}