【bzoj4668】冷战 并查集按秩合并+朴素LCA

题目描述

1946 年 3 月 5 日，英国前首相温斯顿·丘吉尔在美国富尔顿发表“铁幕演说”，正式拉开了冷战序幕。

美国和苏联同为世界上的“超级大国”，为了争夺世界霸权，两国及其盟国展开了数十年的斗争。在这段时期，虽然分歧和冲突严重，但双方都尽力避免世界范围的大规模战争（第三次世界大战）爆发，其对抗通常通过局部代理战争、科技和军备竞赛、太空竞争、外交竞争等“冷”方式进行，即“相互遏制，不动武力”，因此称之为“冷战”。

Reddington 是美国的海军上将。由于战争局势十分紧张，因此他需要时刻关注着苏联的各个活动，避免使自己的国家陷入困境。苏联在全球拥有 N 个军工厂，但由于规划不当，一开始这些军工厂之间是不存在铁路的，为了使武器制造更快，苏联决定修建若干条道路使得某些军工厂联通。Reddington 得到了苏联的修建日程表，并且他需要时刻关注着某两个军工厂是否联通，以及最早在修建哪条道路时会联通。具体而言，现在总共有M 个操作，操作分为两类：

• 0 u v，这次操作苏联会修建一条连接 u 号军工厂及 v 号军工厂的铁路，注意铁路都是双向的;

• 1 u v， Reddington 需要知道 u 号军工厂及 v 号军工厂最早在加入第几条条铁路后会联通，假如到这次操作都没有联通，则输出 0;作为美国最强科学家， Reddington 需要你帮忙设计一个程序，能满足他的要求。

输入

第一行两个整数 N, M。

接下来 M 行，每行为 0 u v 或 1 u v 的形式。

数据是经过加密的，对于每次加边或询问，真正的 u, v 都等于读入的

u, v 异或上上一次询问的答案。一开始这个值为 0。

1 ≤ N, M ≤ 500000，解密后的 u, v 满足1 ≤ u, v ≤ N, u不等于v

输出

对于每次 1 操作，输出 u, v 最早在加入哪条边后会联通，若到这个操

作时还没联通，则输出 0。

样例输入

5 9
0 1 4
1 2 5
0 2 4
0 3 4
1 3 1
0 7 0
0 6 1
0 1 6
1 2 6

样例输出

0
3
5

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题解

并查集按秩合并+朴素LCA

首先答案一定是在时间顺序的最小生成森林上，即如果两个点没有连通就把它们连上，最后得到的森林。

那么只需要维护连通性并支持快速查询即可。

考虑使用并查集的按秩合并，即按树高合并，这样树高只有$\log n$，可以使用朴素LCA直接求解。

时间复杂度$O(m\log n)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 500010
using namespace std;
int fa[N] , v[N] , h[N] , cnt , tot;
int find(int x)
{
	return fa[x] ? find(fa[x]) : x;
}
int deep(int x)
{
	return fa[x] ? deep(fa[x]) + 1 : 0;
}
void add(int x , int y , int z)
{
	x = find(x) , y = find(y);
	if(x != y)
	{
		cnt ++ ;
		if(h[x] < h[y]) fa[x] = y ,  v[x] = z;
		else fa[y] = x , v[y] = z;
		if(h[x] == h[y]) h[x] ++ ;
	}
}
int query(int x , int y)
{
	if(find(x) != find(y)) return 0;
	int dx = deep(x) , dy = deep(y) , ans = 0;
	while(dx > dy) ans = max(ans , v[x]) , x = fa[x] , dx -- ;
	while(dx < dy) ans = max(ans , v[y]) , y = fa[y] , dy -- ;
	while(x != y) ans = max(ans , max(v[x] , v[y])) , x = fa[x] , y = fa[y];
	return ans;
}
int main()
{
	int m , opt , x , y , last = 0;
	scanf("%*d%d" , &m);
	while(m -- )
	{
		scanf("%d%d%d" , &opt , &x , &y) , x ^= last , y ^= last;
		if(opt) printf("%d\n" , last = query(x , y));
		else add(x , y , ++tot);
	}
	return 0;
}