luogu2568 GCD

先筛法求出 \([1,n]\) 间的素数，然后枚举每个素数。可以发现，对于每个素数 \(x\)，它的贡献是 \([1,\lfloor n/x \rfloor]\) 间的有序互质对数。

我们钦定 \((x,y)\) 是 \(x \leq y\) 的，发现 \(x=y\) 是合法的当且仅当 \(x=y=1\)。这样就有 \(x < y\) 了。要求 \(x,y\) 互素，则想到求 \(\varphi(y)\)。

则对于一个素数 \(x\)，他对答案的贡献是 \(\sum_{i=1}^{\lfloor n/x \rfloor} 2\varphi(i)-1\)。减一是因为 \((1,1)\) 被计算了两遍。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, cnt, pri[10000005];
ll ans, phi[10000005];
bool isp[10000005];
void shai(){
	memset(isp, true, sizeof(isp));
	isp[0] = isp[1] = false;
	phi[1] = 1;
	for(int i=2; i<=n; i++){
		if(isp[i]){
			pri[++cnt] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for(int j=1; j<=cnt && i*pri[j]<=n; j++){
			isp[i*pri[j]] = false;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]] = phi[i] * pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
		}
	}
	for(int i=2; i<=n; i++)
		phi[i] += phi[i-1];
}
int main(){
	cin>>n;
	shai();
	for(int i=1; i<=cnt; i++)
		ans += 2 * phi[n/pri[i]] - 1;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}