SPFA的两个优化：SLF与LLL

先举出个例题：洛谷P3371 【模板】单源最短路径

一眼扫去：最短路径。

spfa不接受反驳。。。

附上代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 10010
#define MAX 999999999
using namespace std;
int n,m,s,c=1;
int head[MAXN],path[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct node{
    int next,to,w;
}a[MAXN*100];
inline int read(){
    int date=0,w=1;char c=0;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
    return date*w;
}
inline int relax(int u,int v,int w){
    if(path[v]>path[u]+w){
        path[v]=path[u]+w;
        return 1;
    }
    return 0;
}
inline void add(int u,int v,int w){
    a[c].to=v;a[c].w=w;a[c].next=head[u];head[u]=c++;
}
void spfa(){
    int u,v;
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;}
    path[s]=0;
    vis[s]=true;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=false;
        for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
            v=a[i].to;
            if(relax(u,v,a[i].w)&&!vis[v]){
                vis[v]=true;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",path[i]==MAX?2147483647:path[i]);
}
int main(){
    int u,v,w;
    n=read();m=read();s=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u=read();v=read();w=read();
        add(u,v,w);
    }
    spfa();
    return 0;
}

然而遇到某些坑爹的题，比如USACO上的某些题，硬生生卡spfa啊！怎么办？

没事，我们有优化——SLF与LLL！

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SLF优化：

SLF优化，即 Small Label First  策略，使用 双端队列 进行优化。

一般可以优化15%~20%，在竞赛中比较常用。

设从 u 扩展出了 v ，队列中队首元素为 k ，若 dis[ v ] < dis[ k ] ，则将 v 插入队首，否则插入队尾。

注：队列为空时直接插入队尾。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<deque>
#define MAXN 10010
#define MAXM 500010
#define MAX 2147483647
using namespace std;
int n,m,s,t,c=1;
int head[MAXN],path[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct node{
	int next,to,w;
}a[MAXM<<1];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
inline int relax(int u,int v,int w){
	if(path[v]>path[u]+w){
		path[v]=path[u]+w;
		return 1;
	}
	return 0;
}
inline void add(int u,int v,int w){
	a[c].to=v;a[c].w=w;a[c].next=head[u];head[u]=c++;
}
void spfa(){
	int u,v;
	deque<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;}
	path[s]=0;
	vis[s]=true;
	q.push_back(s);
	while(!q.empty()){
		u=q.front();
		q.pop_front();
		vis[u]=false;
		for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
			v=a[i].to;
			if(relax(u,v,a[i].w)&&!vis[v]){
				vis[v]=true;
				if(!q.empty()&&path[v]<path[q.front()])q.push_front(v);
				else q.push_back(v);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",path[i]);
	printf("\n");
}
int main(){
	int u,v,w;
	n=read();m=read();s=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		u=read();v=read();w=read();
		add(u,v,w);
	}
	spfa();
	return 0;
}

---

LLL优化：

LLL优化，即 Large Label Last  策略，使用 双端队列 进行优化。

一般用SLF+LLL可以优化50%左右，但是在竞赛中并不常用LLL优化。

设队首元素为 k ，每次松弛时进行判断，队列中所有 dis 值的平均值为 x 。

若 dist[ k ] > x ，则将 k 插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一个 k 使得 dis[ k ] <= x ，则将 k 出队进行松弛操作。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<list>
#define MAXN 10010
#define MAXM 500010
#define MAX 2147483647
using namespace std;
int n,m,s,t,c=1;
int head[MAXN],path[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct node{
	int next,to,w;
}a[MAXM<<1];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
inline int relax(int u,int v,int w){
	if(path[v]>path[u]+w){
		path[v]=path[u]+w;
		return 1;
	}
	return 0;
}
inline void add(int u,int v,int w){
	a[c].to=v;a[c].w=w;a[c].next=head[u];head[u]=c++;
}
void spfa(){
	int u,v,num=0;
	long long x=0;
	list<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;}
	path[s]=0;
	vis[s]=true;
	q.push_back(s);
	num++;
	while(!q.empty()){
		u=q.front();
		q.pop_front();
		num--;x-=path[u];
		while(num&&path[u]>x/num){
			q.push_back(u);
			u=q.front();
			q.pop_front();
		}
		vis[u]=false;
		for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
			v=a[i].to;
			if(relax(u,v,a[i].w)&&!vis[v]){
				vis[v]=true;
				if(!q.empty()&&path[v]<path[q.front()])q.push_front(v);
				else q.push_back(v);
				num++;x+=path[v];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",path[i]);
	printf("\n");
}
int main(){
	int u,v,w;
	n=read();m=read();s=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		u=read();v=read();w=read();
		add(u,v,w);
	}
	spfa();
	return 0;
}

---

后记：

附上洛谷上的三次提交：

朴素spfa：Accepted  100

336ms /  7.92MB 
代码：1.19KB C++

spfa+SLF： Accepted  100

316ms /  7.89MB 
代码：1.33KB C++

spfa+SLF+LLL： Accepted  100

316ms /  8.08MB 
代码：1.45KB C++

显然，SLF这个优化已经足够了。

再说，就算卡spfa+优化，不就5~10分嘛。。。

$Update 2018.7.29:$：

$NOI2018Day1T1$竟然真的卡了$SPFA$！！！

并且卡了$40$分！！！

出题人你说你卡个$10$分、$20$分也就算了，居然卡了$40$分！！！

大毒瘤。。。

所以对于正权图还是乖乖写堆优化$Dijkstra$吧。。。

附上讲解：

Dijkstra的堆优化