【做题】arc072_f-Dam——维护下凸包

题意：有一个容量为\(L\)的水库，每天晚上可以放任意体积的水。每天早上会有一定温度和体积的水流入水库，且要保证流入水之后水的总体积不能超过\(L\)。令体积分别为\(V_1,V_2\)，温度分别为\(t_1,t_2\)的水混合后的温度为\(\frac {V_1 * t_1 + V_2 * t_2} {V_1 + V_2}\)。初始水库为空。现给出\(n\)天流入水的体积和温度，分别最大化每一天中午水库满容量时的水温。

\(n <= 500000, \space L,t <= 10^9,\space V <= L\)

显然记录水温时直接记录温度和体积的乘积，这样混合时直接相加就可以了。这个混合满足结合律。

那么，我们可以把水表示为二维平面上的向量，\(x\)坐标为体积，\(y\)坐标为温度和体积的乘积。那么，温度就等于它的斜率。我们贪心一下，如果新加入的水导致水温下降，那么一定会在新加入水后再排水。否则，便可以在新加入水之前排水。这启发我们维护一个下凸包。如果某一天晚上是可以排水的，那么就不先与后面的水混合。否则便把两个向量相加。具体排水时放出斜率较小的水，流入水时不断与现有的水合并直到斜率大于之前的水为止。最大化第\(i+1\)天水的温度，就是最大化第\(i\)天放水后的水温，故我们直接从第\(i\)天的决策更新到第\(i+1\)天的决策，还可以保证新的决策时刻满足水的体积不超过\(L\)。

时间复杂度\(O(n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 500010;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;
inline int judge(db x) {
  return x > -eps ? x > eps ? 1 : 0 : -1;
}
struct point {
  db x,y;
  point(db x_=0,db y_=0): x(x_), y(y_) {}
  db operator * (const point& a) const {
    return x * a.y - y * a.x;
  }
  point operator + (const point& a) const {
    return point(x + a.x, y + a.y);
  }
  point operator - (const point& a) const {
    return point(x - a.x, y - a.y);
  }
  void operator += (const point& a) {
    *this = *this + a;
  }
  void operator -= (const point& a) {
    *this = *this - a;
  }
} q[N];
int n,cap,t,v,l=1,r;
point cur,tmp;
int main() {
  scanf("%d%d",&n,&cap);
  scanf("%d%d",&t,&v);
  printf("%d.00000000\n",t);
  q[++r] = point(v,1.0 * t * v);
  cur += point(v,1.0 * t * v);
  for (int i = 2 ; i <= n ; ++ i) {
    scanf("%d%d",&t,&v);
    db a = v;
    while (judge(a - q[l].x) >= 0)
      a -= q[l].x, cur -= q[l++];
    cur -= q[l];
    q[l].y *= (q[l].x - a) / q[l].x;
    q[l].x -= a;
    cur += q[l];
    tmp = point(v,1.0 * t * v);
    while (l <= r && judge(q[r] * tmp) <= 0)
      tmp += q[r], cur -= q[r--];
    if (judge(tmp.x - cap) > 0) {
      tmp.y *= cap / tmp.x;
      tmp.x = cap;
    }
    q[++r] = tmp;
    cur += tmp;
    printf("%.8lf\n",cur.y / cur.x);
  }
  return 0;
}

小结：在贪心的基础上维护下凸包（或单调队列），从而容易转移。感觉自己做起来还有难度。