n个随机变量中第k小值的期望

Problem

有\(n\)个相互独立的取值在\([0,1]\)的随机变量，问其中第\(k\)小的变量期望是多少？

Solution

之前pkuwc的神仙找我换友链，让我受宠若惊。。

我今天突然翻到他博客里有一篇讲这个东西的博客，用的什么分步积分，感觉太神仙了。。无限Orz

突然想起之前同学告诉我的一个比较简单的方法，打算把这个方法记下来。

不妨考虑引入第\(n+1\)个随机变量，由于分布是均匀的，且取值是\([0,1]\)，所以可以认为第\(k\)小的变量的期望等于第\(n+1\)个变量小于等于第\(k\)小的变量的概率。

那么问题就变为了如何求这个概率，从统计方案数出发。他们的大小关系一共有\((n+1)!\)种，而\(n+1\)个变量小于等于第\(k\)个变量的方案数一共有\(k\times n!\)，因为第\(n+1\)个变量一共有\(k\)个位置可以插入。

所以概率为\(\frac k {n+1}\)，也就是第\(k\)小的期望。