Daubechies小波介绍

Daubechies小波是正交、连续且紧支撑的。

正交条件下，$H(\omega)$必须满足下式：

$|H(\omega)|^2+|H(\omega + \pi)|^2 =1$

连续紧支撑条件下，$H(\omega)$必须满足下式：

$H(\omega)=\left(  \frac{1+e^{-i\omega}}{2}  \right) ^N S(\omega)$

$S(\omega)=\sum^A_{k=0}a_ke^{-ik\omega}$

从上式可以看出，$h[n]$可看做N个[1,1]的卷积再和$s[n]$卷积（不考虑归一化），而$s[n]$就是$S(\omega)$的系数：$s[n]=[a_0, a_1, a_2,...]$。

将紧支撑条件代入正交条件，简化后可得：

$(cos^2(\frac{\omega}{2}))^N|s(\omega)|^2+(sin^2(\frac{\omega}{2}))^N|S(\omega+\pi)|^2=1$

若将$s[n]$限定为实数，那么$|S(\omega)|^2$是偶函数，所以$|S(\omega)|^2$可写作下式：

$|S(\omega)|^2=\sum^A_{k=0}d_k cos^k (\omega) = \sum^A_{k=0} d_k ( 1 - 2sin^2( \frac{\omega}{2} ) )$

至此，我们将三角变量全部化成$\frac{\omega}{2}$，且上式只包含$cos$和$sin$的平方项。

我们暂时令$ y=sin^2 ( \frac{\omega}{2} ) $，$P(y)=\sum^A_{k=0}d_k(1-2y)^k$，就得到：

$(1-y)^NP(y)+y^NP(1-y)=1$

这种形式的方程的解为：

$P(y)=\sum^{N-1}_{k=0}\dbinom{2N-1}{k}y^k(1-y)^{N-1-k}$

然后将$y$和$P(y)$恢复成三角形式，以$\frac{1-cos \omega}{2}$代替$sin^2(\frac{\omega}{2})$，再将$cos \omega$以欧拉公式替换为复指数形式，最后以$z=e^{-i\omega}$替换复指数，最终得到：

$T(z)=|S(z)|^2 = \frac{1}{ 4^{N-1} } \sum^{N-1}_{k=0} \dbinom{2N-1}{k} (-z+2-z^{-1})^k (z+2+z^{-1})^{N-1-k}$

上式满足$T(z)=T(\frac{1}{z})$。于是我们就能得到一系列关于$T(z)$的零点的性质：

(a) 若$z_0 \neq 0$是$T(z)$的零点，那么$1/z_0$也是$T(z)$的零点

(b) 若$z_0$是$T(z)$的零点，那么$\overline{z_0}$也是$T(z)$的零点

考虑到将$z$的取值限定在单位圆上，我们有（考虑$|z|=|\overline{z}|=z\overline{z}=1$）：

$|(z-w)(z-1/\overline{w})|=|(z-w)(z-z\overline{z}/\overline{w})|=|(z-w)z(1-\overline{z/w})|=|z-w||w|^{-1}|\overline{w-z}|=|w|^{-1}|z-w|^2$

这样，$T(z)=|S(z)|^2$就可以化为所有项均为平方的$z$的一次多项式连乘，且$z$的所有零点全部“翻转”到单位圆内成为最小相位系统。将$T(z)$开方（并归一化）后得到的$F(z)$代回到文章开头的$H(\omega)=\left(  \frac{1+e^{-i\omega}}{2}  \right) ^N S(\omega)$，即可求得Daubechies尺度滤波器系数。

下面是一个求六抽头Daubechies尺度滤波器系数的例子：

$N=3$

$P(y)=1+3y+6y^2$

$T(z)=1+3(\frac{1-z}{2})(\frac{1-1/z}{2})+6((\frac{1-z}{2})(\frac{1-1/z}{2}))^2$\

$=\frac{3}{8} z^2+\frac{9}{4} z+\frac{19}{4} z^{-1}+\frac{3}{8} z^{-2}$

$\alpha=\frac{3}{8}$

$T(z)$用计算机求解，取单位圆内零点：$z_1=0.28725+0.15289i, \overline{z_1}=0.28725+0.15289i$

$F(z)=\sqrt{\frac{3}{8}} \frac{1}{z_1}(z-z_1)(z-\overline{z_1}) $

于是$H(\omega)=(\frac{1+e^{-i\omega} }{2})^3 F(e^{-i\omega}) $展开后即得滤波器系数。（习惯上将求得的滤波器系数逆序排列）