概率论与数理统计图解.tex

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\begin{document}
    \title{\Huge 概率论与数理统计图解}
    \author{dengchaohai}
    \maketitle
    \newpage
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
        [r/.style={rectangle,draw,align=left,rounded corners=.8ex}]

        \node(0)at(0,0)[r]{\textbf{0现象}};
        \node(1)at(5,0)[r]{\textbf{1确定性现象}};
        \node(2)at(5,-5)[r]{\textbf{2随机性现象}};
        \node(3)at(10,-5)[r]{\textbf{3随机试验}
            \\.可重复
            \\.可观察
            \\.随机性};
        \node(4)at(25,-5)[r]{\textbf{4样本点$\omega$}};
        \node(5)at(40,-5)[r]{\textbf{5样本空间$\Omega=\{\omega|\cdots\}$}
            \\.离散$\Omega={\{\omega_1,\omega_2,\cdots\}}$
            \\.连续$\Omega=(a,b)$};
        \node(6)at(25,-10)[r]{\textbf{6基本事件$\omega$}};
        \node(7)at(40,-10)[r]{\textbf{7事件$A,B,\cdots$}
            \\$\emptyset\leq A\leq \Omega$};
        \node(8)at(55,-10)[r]{\textbf{8集合$A,B,\cdots$}
            \\.互不相容$AB=\emptyset\Rightarrow$对立$\overline{A}=\Omega-A$
            \\.加(交集$A\cap B$)减(差集$A-B$)乘(并集$A\cup B$)除(包含$A\subseteq B$)
            \\.{[(交换律+结合律)=分配律]+自反律}=对偶律};
        \node(9)at(25,-25)[r]{\textbf{9随机变量$X$}};
        \node(10)at(40,-25)[r]{\textbf{10概率函数$P(A)$}
            \\.$0=\emptyset\leq P(A)\leq \Omega\leq 1$
            \\.否$P(\overline{A})=1-P(A)$
            \\.加$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
            \\.减$P(A-B)=P(A)-P(AB)$
            \\.乘$P(AB)=P(A)P(B|A)$
            \\.除$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$};
        \node(11)at(55,-25)[r]{\textbf{11分布函数$F(x)$}
            \\.单调性$x_1\leq x_2\Rightarrow F(x_1)\leq F(x_2)$
            \\.端点极限性$F(-\infty)=0,F(+\infty)=1$
            \\.右连续性$F(x+0)=F(x)$};
        \node(12)at(15,-25)[r]{\textbf{12随机向量$(X,Y,\cdots)$}};
        \node(13)at(25,-30)[r]{\textbf{13变量函数$Y=g(X)$}};
        \node(15)at(30,-32.5)[r]{\textbf{15一阶原点矩|期望}
                \\.离散$EY=Eg(X)=\sum_i^\infty g(x_i)p_i$
                \\.连续$EY=Eg(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)dx$
                \\.$E(ag(X)+b)=aEg(X)+b$};
        \node(16)at(30,-35)[r]{\textbf{16二阶中心矩|方差$DY=E(Y-EY)^2=EY^2-(EY)^2$}
            \\.$D(aX+b)=a^2DX$};
        \node(17)at(55,-45)[r]{\textbf{17边缘分布函数$F_X(x)=F(x,+\infty),F_Y(y)=F(+\infty,y)$}};
        \node(18)at(55,-35)[r]{\textbf{18联合分布函数$F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}$}};
        \node(19)at(40,-40)[r]{\textbf{19边缘概率函数}
            \\.离散$p_i^X,p_j^Y$
            \\.连续$f_X(x),f_Y(y)$};
        \node(20)at(40,-35)[r]{\textbf{20联合概率函数}
            \\.离散$p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_i\}$
            \\.连续$f(x,y)$};
        \node(22)at(32.5,-17.5)[r]{\textbf{22基本概型$P(A)=\frac{\{\omega|\omega\in A\}}{\{\omega|\omega\in\Omega\}}$}
            \\.古典概型（有限等可能）
            \\.几何概型（无限等可能）};
        \node(23)at(25,-32.5)[r]{\textbf{23总体$X$}};
        \node(24)at(18,-32.5)[r]{\textbf{24样本$(X_1,X_2,\cdots)$}};
        \node(25)at(30,-37.5)[r]{\textbf{25切比雪夫不等式$P\{|X-EX|\geq \epsilon\}\leq \frac{DX}{\epsilon^2}$}};
        \node(26)at(47.5,-37.5)[r]{\textbf{26条件概率函数}
            \\.离散$P_{i|j}=P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{P_j^Y}$
            \\.连续$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$};
        \node(27)at(60,-37.5)[r]{\textbf{27条件分布函数$F(x|y)=\frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$}};
        \node(28)at(40,-32.5)[r]{\textbf{28随机向量的期望,协方差}
            \\.离散$EZ=Eg(X,Y)=\sum_{i,j}^{\infty}g(x_i,y_i)p_{ij}$
            \\.连续$EZ=Eg(X,Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy$
            \\.$cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]$
            \\.$E(X+Y)=EX+EY,D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)$};
        \node(29)at(50,-32.5)[r]{\textbf{29条件数学期望}
            \\.离散$E[X|Y=y_j]=\sum_ix_ip_{i|j}$
            \\.连续$E[X|Y=y]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{X|Y}(x|y)dx$};

        \draw[->](0)--(1);
        \draw[->](0)--(2.5,0)--(2.5,-5)--(2);
        \draw[->](2)to node[above]{观察}(3);
        \draw[->](3)to node[above]{结果}(4);
        \draw[->](4)to node[above]{全体}(5);
        \draw[->](4)to node[right]{单个}(6);
        \draw[->](5)to node[right]{子集}(7);
        \draw[->](6)to node[above]{复合$A=\{\omega|\cdots\}$}(7);
        \draw[->](7)to node[above]{等价}(8);
        \draw[->](6)to node[right]{函数$X=X(\omega)$}(9);
        \draw[->](7)to node[r,right]{测度
            \\.$P(\Omega)=1$
            \\.$P(A)\geq0$
            \\.可列可加}(10);
        \draw[->](9)to node(21)[r,above]{频率$x=X(\omega)\Rightarrow P(A)=\frac{\{\omega|\omega\in A\}}{\{\omega|\omega\in\Omega\}}$
            \\.离散$p_i=p(x_i)=P\{X=x_i\}$
            \\.连续$f(x)$}(10);
        \draw[->](10)to node[r,above]{累和$F(x)=P\{X\leq x\}$
            \\.离散|分段阶梯$\sum_i^x p_i$
            \\.连续|积分面积$\int_{-\infty}^x f(x)dx$}(11);
        \draw[->](9)to node[right]{复合}(13);
        \draw(10)--(40,-30)to node(14)[below]{相乘}(13);
        \draw[->](14)to node[right]{累和}(15);
        \draw[->](15)--(16);
        \draw[->](9)--(12);
        \draw[->](12)--(15,-45)--(17);
        \draw[->](17)--(18);
        \draw[->](16,-25.3)--(16,-40)to node[above]{条件概率$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$|乘法公式$P(AB)=P(A)P(A|B)$|独立性$P(AB)=P(A)P(B)$}(19);
        \draw[->](19)to node[right]{全概率|贝叶斯}(20);
        \draw[->](22)--(21);
        \draw[->](24.north)to node[above]{假设估计类型,假设估计参数[点估计(最大似然,矩估计),区间估计]}(23.north);
        \draw[->](24.south)to node[below,align=left]{无偏(期望)\\有效(方差)\\相合(依概率收敛$\lim_{n\longrightarrow\infty}P\{|X_n-X|>\epsilon\}=0$}(23.south);
        \draw[->](23)--(15);
        \draw[->](16)--(25);
        \draw[->](19)--(26);
        \draw[->](26)--(20);
        \draw[->](17)--(27) (27)--(18) (20)--(28) (26)--(29);

        \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{document}