最小生成树可并行化的 Sollin（Boruvka）算法

上期回顾：https://www.cnblogs.com/ofnoname/p/18715203

在前文中，我们剖析了最小生成树（MST）问题中的两大经典算法：

• Kruskal 以“边权平等”为信条，通过排序与并查集自下而上聚合连通分量；
• Prim 以“中心辐射”为策略，通过优先队列自上而下扩张领土。

二者虽路径迥异，却殊途同归，均以贪心策略保证全局最优。还有一种不那么为人熟知的 Sollin 算法（又称 Boruvka 算法），它融合了前两者的思想，并在并行计算领域大放异彩，在特定情况下非常有用。

Sollin 算法：分治与并行

Sollin 算法仍然基于贪心，但是他从多个起点开始。想象一场战国时代的争霸赛：初始每一个点都是一代表一个国家，自身是一个连通分量，接下来每个小国（连通分量）各自派出使者，寻找与邻国间成本最低的结盟道路。所有国家同时行动，每一轮合并后形成更大的联盟，直到天下归一。Sollin 算法的核心正是这种分阶段的并行贪心策略：

具体步骤：

1. 初始化：每个节点自成一个连通分量。
2. 并行探索：每一轮迭代下，对每个连通分量，找到其连接外界的最小权重边（类似 Prim 的切割性质）。
3. 批量合并：将所有找到的最小边加入 MST，合并连通分量。
4. 循环迭代：重复步骤 2-3，直至只剩一个连通分量。

正确性证明

Sollin 的正确性同样基于安全边定理：

每个连通分量选择的最小出边，必定属于某个 MST。

归纳法视角：

• 初始状态：每个节点独立，所有边均为安全边候选。
• 归纳假设：当前已选边集是某个 MST 的子集。
• 归纳步骤：每轮选择的边均为不同切割的最小边，加入后仍保持 MST 的存在性。

关键观察：

• 若两个连通分量选择彼此之间的同一条边，该边只会被加入一次（去重机制）。
• 合并操作保证连通分量数量至少减半，确保算法终止。

struct Edge {
    int u, v, weight, index;
};

class Graph {
    int n, m;
    vector<Edge> edges;

public:
    Graph(int n, int m) : n(n), m(m) {}

    void addEdge(int u, int v, int weight, int index) {
        edges.push_back({u, v, weight, index});
    }

    long long boruvka(vector<int>& result) {
        UnionFind uf(n); // 并查集实现略
        long long total_weight = 0;
        int components = n;

        while (components > 1) {
            vector<Edge> min_edges(n, {-1, -1, INT_MAX, -1});

            // 查找每个连通分量的最小边
            for (const auto& edge : edges) {
                int root_u = uf.find(edge.u);
                int root_v = uf.find(edge.v);
                if (root_u == root_v) continue;

                if (edge.weight < min_edges[root_u].weight)
                    min_edges[root_u] = edge;

                if (edge.weight < min_edges[root_v].weight)
                    min_edges[root_v] = edge;
            }

            // 收集并处理有效边
            unordered_set<int> valid_edges;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                if (min_edges[i].index != -1 &&
                    !uf.connected(min_edges[i].u, min_edges[i].v)) {
                    valid_edges.insert(min_edges[i].index);
                }
            }

            if (valid_edges.empty()) break;

            // 合并连通分量并记录结果
            int added = 0;
            for (int idx : valid_edges) {
                const Edge& e = edges[idx];
                if (uf.unite(e.u, e.v)) {
                    total_weight += e.weight;
                    result.push_back(idx);
                    added++;
                }
            }

            if (added == 0) break;
            components -= added;
        }

        return components == 1 ? total_weight : -1;
    }
};

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时间复杂度

• 每轮操作成本：
  • 寻找每个连通分量的最小边：\(O(|E|)\)（需遍历所有边）。
  • 合并连通分量：使用并查集优化后接近 \(O(|V| \cdot \alpha(|V|))\)。
• 轮数上限：由于每轮连通分量数量至少减半，总轮数为 \(O(\log |V|)\)。
• 总复杂度：\(O(|E| \log |V|)\)，与二叉堆优化的 Prim 算法相当。

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Sollin vs Kruskal

维度	Sollin (Boruvka)	Kruskal
核心策略	多连通分量并行找最小边	全局排序 + 单线程并查集
时间复杂度	\(O(|E| \log |V|)\)	\(O(|E| \log |E|)\)
空间复杂度	需维护多个连通分量	只需存储并查集和边列表
并行潜力	每轮操作天然可并行（如MapReduce）	排序和并查集依赖全局状态
适用场景	边权分布均匀的图，或需要并行处理	稀疏图（\(|E| \ll |V|^2\)）
实现难度	较高（需处理多分量合并与去重）	简单（仅排序与并查集）

在分布式系统中，每轮各连通分量的最小边搜索可分配给不同计算节点，适合超大规模图（如社交网络分析）。据说 Boruvka 算法在 20 世纪 20 年代被用于规划捷克斯洛伐克的电力网络，其分阶段特性契合人工计算流程。