PAT 1021-1030 题解

早期部分代码用 Java 实现。由于 PAT 虽然支持各种语言，但只有 C/C++标程来限定时间，许多题目用 Java 读入数据就已经超时，后来转投 C/C++。浏览全部代码：请戳

本文谨代表个人思路，欢迎讨论;)

1021. Deepest Root (25)

题意

无环连通图也可以视为一棵树，选定图中任意一点作为根，如果这时候整个树的深度最大，则称其为 deepest root。
给定一个图，按升序输出所有 deepest root。如果给定的图有多个连通分量，则输出连通分量的数量。

分析

算法实现的步骤如下：

• 1.使用并查集判断图是否为连通的。
• 2.任意选取一点，做 dfs 搜索，选取其中一个最远距离的点 A，再做一次 dfs，找到的所有距离最远的点以及点 A 都是 deepest root。

判定图是否连通使用 union-find set 即可。更关键的点在于找到 deepest root。实际上，使用两次 dfs 就可以实现。
证明之前，先介绍两个概念，一个是直径，树的 deepest root 到最远叶子的路径我们暂称直径，而 deepest root 和最远叶子节点则成为端点。
注明关键在于以下两点：

• 从任意一个点 dfs 得到的最远点都是直径的端点。证明如下：

  任意选一点 A，做 dfs 查找距离 A 最远的点，因为是 dfs，所以肯定会经过某直径上的点 B，从 B 出发最远的点是直径上的端点 C。
  那么，这个端点 C 为何一定是 A 的最远居里点呢？可以反证证明，如果有一个点 D，A->D 不经过直径，且 length(A->D) > length(A->C)，
  那么，从 C 所在直径上构造出经过 D 的比原直径更长的直径，得证。

• 所有的树的直径都交于一点（或者公用段路径上的几点）。
  于是，从 B 点 dfs 出发的所有最长距离的点即为 deepest root。证明如下：

  如果两条直径不相交，而树上任意两点肯定连通，则从两直径上，可以选取两点连通以组成更长的直径；如果三条直径相较于不同的两点，也可以根据相交截断的长度组合出更长的直径。

1022. Digital Library (30)

题意

给定 N (<=10000) 本书的信息，包括 7 位 ID，最多 80 字符的书名，最多 80 字符的作者名，
多个最多 10 字符的关键词，最多 80 字符的出版商和属于 [1000, 3000]的出版时间。
另给出 M (<=1000) 的查询请求，按照查询格式分为：

• 1: 书名
• 2: 作者
• 3: 关键词
• 4: 出版商
• 5: 年份

输出查询结果。如果有多个结果，按照书的 ID 的升序排列。

分析

简单模拟题。在使用 Map 结构来构建倒排索引的过程中，可以讨巧的避免根据不同查询类型使用两层 map，
直接通过在 key 中增加查询标记来实现。另外 C++的 priority_queue 支持对常规数据类型的最小堆实现：priority_queue<string, vector<string>, greater<string>>，方便了结果输出。

1023. Have Fun with Numbers (20)

题意

给出一个 20 位的正整数，要求计算其乘以 2 的值，并判定结果的数值是否是原数字所有位数打乱的结果。结果输出 Yes 或 No，以及乘以 2 以后的数字。

分析

判重使用 Hash 思想。过程如下：

• 1.原数字按字符串读入，并在一个 int hash[10]的 hash 数组中标记每个数值出现的次数，比如如果出现了四次 1，则 hash[1]=4。
• 2.模拟实现乘以 2 的简单乘法过程，没计算出一位的值，在 hash[]中对应位置上减一。
• 3.最后通过判定 hash 是否全为 1 和最后结果是否有进位来做判定。

1024. Palindromic Number (25)

题意

非回文数可以通过将它与它的倒转数相加，并不断迭代这一过程获得回文数的结果。比如 67 经过两次处理就得到了 484：
67 + 76 = 143, and 143 + 341 = 484.

给定一个数和迭代的次数，判断能否在迭代次数内获得回文结果。

分析

简单模拟题，处理数字，做逻辑判断。

1025. PAT Ranking (25)

题意

以 PAT 考试为背景，给所有人做排名。给定的数据包括 N(<=100)为赛区的数目，每个赛区的人数以及每个人的分数。
按照总排名、分区号、注册号的优先级排名。

分析

简单模拟题，使用 qsort()排序，注意相同分数的人应该拥有相同的排名。

1026. Table Tennis (30)

题意

乒乓球俱乐部有 K 张乒乓球桌，其中有 M 张是 VIP 桌。有很多人到俱乐部打球，如果桌子都满了，多余的人只能排队等待。

有一个特殊的 VIP 制度：如果有空的 VIP 桌，那么等待队列中的第一对 VIP 会员可以使用这张卓，
如果等待队列中没有 VIP 会员，那么一般会员也可以使用 VIP 桌。当轮到 VIP 上的时候，没有 VIP 桌子，那么 VIP 用户也可以使用一般的桌子。

另外，每张桌服务一对会员的时间最大限制在两个小时。

给定了乒乓球桌的数量 M(编号为 1-M)，其中 VIP 卓的数量 K，并指定是那几张桌子。给出来乒乓球俱乐部的 N 对会员的信息，每对会员有一个达到时间，
是否是 VIP 的标记以及打球的时间。要求计算出每对会员的等待时间，以及每张桌服务过的次数。

分析

排队模拟题。有两种思路：

• 1.主体循环处理人。将乒乓球桌和人都当做资源，乒乓球桌对应记录了 available 的时间，每次取出 available 最早的时间，从等待队列中选
  则最早的会员使用乒乓球桌。其中 vip 处理逻辑为：如果 available 并列最早的桌子中有 vip 桌，则看等待队列中有没有 vip 会员，
  如果有则直接处理他，否则按照正常逻辑处理。每次将某会员安置到一个乒乓球桌上，则可以输出该会员的等待时间的结果信息，并将该乒乓球桌的
  服务人数增加一。
• 2.主体循环是时间。这样需要模拟同一时刻所有的乒乓球桌以及等待队列，相对比较复杂。

1027. Colors in Mars (20)

题意

给定三个十进制数，要求格式化输出其 13 进制表达。

分析

简单的数字处理和 hash 实现。

1028. List Sorting (25)

题意

模拟 Excel 中按列排序。N (<=100000) 为数据条数，每条数据由三列组成：ID，姓名，成绩。C 可以等于 1,2,3，分别对应到按三列中的哪一列排序。
输出排序结果。

分析

简单排序题。两种思路：

• 1.简单的直接使用 qsort()实现。
• 2.自己手写排序算法，比如二叉搜索树实现。

1029. Median (25)

题意

给定两个已排序的整数序列，求出两组数的集合里中间大小的数。

分析

使用归并排序思路实现。

1030. Travel Plan (30)

题意

给定加权图，每条边有两种权值：一是路径长度，二是开销。要求求出给点两点间的最短路径，如果路径长度一样，则要求比较选择开销最小的路径。

分析

使用 Dijkstra 算法的变形，增加一个权重的判定，可以轻松解决。

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