算法题解之math类题

Bulb Switcher

灯泡开关

思路：除了平方数以外，其他所有位置的灯泡最终都被开关了偶数次，因此最终都为0。问题等价于求1~n中平方数的个数。

 public class Solution {
     public int bulbSwitch(int n) {
         return (int)Math.sqrt(n);
     }
 }

Count Primes

质数计数

思路1：暴力法。其中判断每一个数n是不是质数需要验证是否任何小于n的数都不能整除n，这一步是O（n）。因此整体复杂度是O(n^2)。

思路2：思路1的优化版。如果一个数n不是质数，则n = p * q。令 p <= q，则可以推出 p * p <= n，即 p <= √n。因此思路一中只需要判断是否任何小于等于√n都不能整除n。整体时间复杂度变为O(n^1.5)。

 public int countPrimes(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
       if (isPrime(i)) count++;
    }
    return count;
 }

 private boolean isPrime(int num) {
    if (num <= 1) return false;
    // Loop's ending condition is i * i <= num instead of i <= sqrt(num)
    // to avoid repeatedly calling an expensive function sqrt().
    for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
       if (num % i == 0) return false;
    }
    return true;
 }

思路3：埃拉托色尼筛选法：对于当前数i（i要从2开始），把它的倍数2i，3i，4i......都标记为不是质数，然后 i 的下一个没有被标记过的数一定是质数。

优化：（1）如果一个数已经被标记为不是质数了，直接跳过，因为它的倍数之前一定已经标记过了；（2）对于数i，不用从2i开始标记，直接从i * i开始标记（之前的也一定被标记过）。

算法空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(n log log n)。（证明见wiki）

 public class Solution {
     public int countPrimes(int n) {
         boolean[] notPrime = new boolean[n];
         int count = 0;
         for (int i = 2; i < n; i++) {
             if (notPrime[i] == false) {
                 count++;
                 for (long j = i; i * j < n; j++) {
                     notPrime[(int)(i * j)] = true;
                 }
             }
         }

         return count;
     }
 }

Insert Interval

插入区间

思路：区间类题目。先把区间按照start大小插入进去，然后就就跟排好序的merge intervals一样了。

 /**
  * Definition for an interval.
  * public class Interval {
  *     int start;
  *     int end;
  *     Interval() { start = 0; end = 0; }
  *     Interval(int s, int e) { start = s; end = e; }
  * }
  */
 public class Solution {
     public List<Interval> insert(List<Interval> intervals, Interval newInterval) {
         List<Interval> res = new ArrayList<Interval>();
         if (intervals == null || intervals.size() == 0) {
             res.add(newInterval);
             return res;
         }

         for (int i = 0; i < intervals.size(); i++) {
             if (intervals.get(i).start > newInterval.start) {
                 intervals.add(i, newInterval);
                 break;
             } else if (i == intervals.size() - 1) {
                 intervals.add(newInterval);
                 break;
             }
         }

         res.add(intervals.get(0));
         for (int i = 1; i < intervals.size(); i++) {
             Interval cur = intervals.get(i);
             Interval last = res.get(res.size() - 1);
             if (cur.start <= last.end) {
                 last.end = Math.max(last.end, cur.end);
             } else {
                 res.add(cur);
             }
         }
         return res;

     }
 }

Merge Intervals

合并区间

思路：区间类题目。先把所有区间按照start排好序，把第一个区间加到合并集中。然后遍历之后的每个区间，只需要与合并集中最后一个区间进行比较合并。

 /**
  * Definition for an interval.
  * public class Interval {
  *     int start;
  *     int end;
  *     Interval() { start = 0; end = 0; }
  *     Interval(int s, int e) { start = s; end = e; }
  * }
  */
 public class Solution {
     public List<Interval> merge(List<Interval> intervals) {

         List<Interval> res = new ArrayList<Interval>();

         if (intervals == null || intervals.size() == 0) {
             return res;
         }

         Comparator<Interval> c = new Comparator<Interval>() {
             public int compare(Interval i1, Interval i2) {
                 return i1.start - i2.start;
             }
         };
         Collections.sort(intervals, c);
         res.add(intervals.get(0));
         for (int i = 1; i < intervals.size(); i++) {
             Interval cur = intervals.get(i);
             Interval last = res.get(res.size() - 1);
             if (cur.start <= last.end) {
                 last.end = Math.max(last.end, cur.end);
             } else {
                 res.add(cur);
             }
         }
         return res;
     }
 }

Power of Three

判断3的次方

思路1：循环或者递归。复杂度O(lgn)

思路2：题目规定不能用loop或者递归。可以调用java的log函数来做。时间仍然是O(lgn)

思路3：求出int中3的次方的最大值，判断max是否能被n整除。时间是O(1)。power of tow，power of four 均与这题类似。

public class Solution {
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
        int Max3PowerInt = 1162261467;
        if (n > 0 && n <= Max3PowerInt) {
            if (Max3PowerInt % n == 0) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

Rectangle Area

矩形面积

思路：设矩形1的上下左右边分别为u1,d1,l1,r1，矩形2的上下左右边分别为u2,d2,l2,r2。则两矩形不相交的充要条件是：u1在d2下方 或 u2在d1下方 或 l1在r2右边 或 l2在r1右边。其余情况一定相交。相交面积的求法是：相交矩形的左边是l1和l2其中靠右的边，相交矩形的右边是r1和r2其中靠左的边，相交矩形的上边是u1和u2的靠下的边，相交矩形的下边是d1和d2的靠上的边。

 public class Solution {
     public int computeArea(int A, int B, int C, int D, int E, int F, int G, int H) {
         int area1 = (C - A) * (D - B);
         int area2 = (G - E) * (H - F);
         if (A >= G || E >= C || B >= H || F >= D) {
             return area1 + area2;
         }

         int w = Math.min(C, G) - Math.max(A, E);
         int h = Math.min(D, H) - Math.max(B, F);
         return area1 + area2 - w * h;

     }
 }