LeetCode 笔记22 Distinct Subsequences 动态规划需要冷静

Distinct Subsequences

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

其实这道题本来不是很难，因为一看就是动态规划。结果笨娃（哎，真是笨娃啊）搞这个递推式搞了很久。所以记录一下。

Instinctly，（真心发现既然是dp，就往这方面想就是）假设S取前面i个字符（最后一个index是i - 1）, T取前面j个字符（最后一个index是j - 1），那么在前i个字符中，有序列的个数num[i][j]的公式应该怎么写呢？

首先，如果S[i - 1] 不等于T[j - 1]，那么num[i][j] = num[i - 1][j]。不难理解啊，就是S往前缩一个呗，反正也匹配不了T[j - 1]是不是？

如果S[i - 1]等于T[j - 1], 那么，num[i][j]应该是: num[i - 1][j - 1] + num[i - 1][j]。

为啥呢？

num[i - 1][j - 1]： S中还没到i的同志们在翘首盼望着i ，同样T中的乡亲们也在等待j 。符合条件的S[i - 1]一到达，他们就自然加入到num[i][j]的队伍中了，如下图所示。

num[i - 1][j]: S还没到i，但其中一些同志们已经满足T[0: j-1]。符合条件的S[i - 1]到达，他们需要也加入到num[i][j]的队伍中，如下图所示。

（是不是觉得楼主疯了）

聪明的同学肯定要问了，但是初始状态大家都是0，没见到+1啊。这里有个特殊的初始化，就是num[i][0] = 1。这好像在说，空串始终匹配整个串S

代码如下：

public int numDistinct(String S, String T) {
        if (T.length() > S.length()) {
            return 0;
        }
        int[][] num = new int[S.length() + 1][T.length() + 1];
        for (int i = 0; i <= S.length(); i++) {
            num[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= S.length(); i++) {
            for (int j = 1; j <= Math.min(i, T.length()); j++) {
                if (S.charAt(i - 1) == T.charAt(j - 1)) {
                    num[i][j] = num[i - 1][j - 1] + num[i - 1][j];
                } else {
                    num[i][j] = num[i - 1][j];
                }
            }
        }

        return num[S.length()][T.length()];
    }