【学习整理】NOIP涉及的数论 [updating]

扩展欧几里得

求二元一次不定式方程 的一组解。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int t;
    if(!b) {x=1;y=0;return a;}
    t=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return t;
}

线性筛质数

维护一个质数表。对于每个数 ， 从小到大枚举所有质数 ，将 打上标记。 如果 ， 停止枚举。

void getprime()
{
    int i,j;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i]) prime[++tot]=i;
        for(j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            b[i*prime[j]]=true;
            if(!i%prime[j]) break;
        }
    }
}

线性求逆元

逆元的定义：称x是a在模b意义下的逆元，可理解为。

给定一个质数 ，求出 至 的逆元。

证明：

费马小定理

若 是质数， 则

证明：

因为 ， 所以.

线性求欧拉函数

欧拉函数的定义：小于等于的正整数中与互质的数的个数。

设 为 最小的质数，。在线性筛中，被筛掉。

当时，。

当时，。

void getphi()
{
    int i,j;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
       if(!b[i])
       {
           prime[++tot]=i;
           phi[i]=i-1;
       }
       for(j=1;j<=tot;j++)
       {
           if(i*prime[j]>n)  break;
           b[i*prime[j]]=true;
           if(i%prime[j]==0)
           {
               phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
               break;
            }
            else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
       }
     }
}

欧拉定理

若 ， 则 。

证明：

记 , 记 为 到 中与 互质的数。

由 消去律 得 

Miller-Rabin算法  素数测试

记

在 中随机选取一个整数 ， 如果 或 , 那么我们认为n是质数。

错误率不超过1/4，重复若干次即可。

long long mod_mul(long long,long long,long long);
long long mod_exp(long long,long long,long long);
bool miller_rabbin(long long n)
{
    int i,j,t;
    long long a,x,y,u;
    if(n==2)return true;
    if(n<2||!(n&1)) return false;
    t=0;u=n-1;
    while((u&1)==0) t++,u>>=1;
    for(i=1;i<=tim;i++)
    {
        a=rand()%(n-1)+1;
        x=mod_exp(a,u,n);
        for(j=0;j<t;j++)
        {
            y=mod_mul(x,x,n);
            if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;
             x=y;
        }
        if(x!=1) return false;
    }
    return true;
}
long long mod_mul(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long res=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
long long mod_exp(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=mod_mul(res,a,mod);
        a=mod_mul(a,a,mod);
        b>>=1;
    }
    return res;
}

Pollard-rho算法 分解合数

中国剩余定理

解方程组   其中 两两互质。

大步小步法(BSGS)及其拓展

求最小的 使得 ， 为质数。

莫比乌斯反演

已知      求 。

原根的基本性质

拉格朗日定理

二次剩余