[BJWC2018] Kakuro

一、题目

点此看题

二、解法

我一开始一直想不出来，直接刚这个题实在是太复杂了，因为一开始就是不合法的。

下次遇到复杂的题一定要想 调整法 ，我再不往这个方向想我吔屎

好了言归正传，我们先找一组可行的解，但不是最优的，我们想法设法地把他调整到最优。可行的解很容易找啊，把所有空格子改成 \(1\) ，所有线索改成格子的个数。但你可能要问如果有些格子不能调整怎么办呢？不要怕直接刚，如果我们最后能把这些格子调整回来那就没问题，而且这样做很方便。

如果从网络流方面来考虑的话那么把费用放在边上，然后我们用网络流来调整。请注意这个条件：输入保证这个从格式上来说一定是个合法的Kakuro 谜题，即每一段连续的空格的左边或者上面的格子包含线索。因为现在的图是合法的，所以可以把空格子当成边，连接两个线索，这样源汇的一条路径增加 \(1\) 的流量就表示这些格子的数都增加 \(1\) ，那么我们这样建图：

• 源点连横着的线索，设原来的数字的 \(x\) ，现在的数字是 \(y\) ，改变权值的花费是 \(c\) ，如果 \(x>y\) ，说明改小了，如果需要的话我们可以回退这个操作，也就是连一条容量 \(x-y\) 费用为 \(-c\) 的边。然后还可以暴力调大，那么连一条容量为 \(inf\) 费用为 \(c\) 的边。
• 竖着的线索连汇点，和上面的连法同理。
• 设格子连接的两个线索是 \(i,j\) ，那么 \(i,j\) 先连一条容量为 \(x-y\) 的费用为 \(-c\)（此时 \(y=1\)），然后类似地连一条容量为 \(inf\) 费用为 \(c\) 的边。

大概的图就建好了，然后我们跑最小费用可行流就可以达到调整的目的了，也就是在 \(cost\geq 0\) 时退出。还有一个悬而未决的问题，就是不能调整的点怎么办，如果我们把 \(c\) 设置为 \(inf\) ，那么费用流肯定会使用对应的 \(-inf\) 的边，那么这个点就被调整回原来的状态了。

怎么判断无解呢？就是有些不能改的点没有被调整回原来的状态（\(-inf\) 的边没有满流），或者是不能改的点增加了数字（\(inf\) 的边有流量通过），那么都是不合法的。

但我怎么还是感觉有点不对劲呢？可能我还需要多想一想

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int M = 1005;
const int N = 35;
const int inf = 1e9;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,tot,cnt,f[M],a[N][N],id1[N][N],id2[N][N];
int ans,s,t,dis[M],lst[M],pre[M],in[M],flow[M];
int r[N][N],c[N][N],o[N][N],up[N][N],down[N][N];
struct edge
{
	int v,f,c,next;
	edge(int V=0,int F=0,int C=0,int N=0) : v(V) , f(F) , c(C) , next(N) {}
}e[M*M];
void add(int u,int v,int c,int fl)
{
	e[++tot]=edge(v,fl,c,f[u]),f[u]=tot;
	e[++tot]=edge(u,0,-c,f[v]),f[v]=tot;
}
int bfs()
{
	queue<int> q;
	for(int i=0;i<=t;i++) dis[i]=1e18;
	dis[s]=0;pre[s]=-1;flow[s]=inf;
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();q.pop();
		in[u]=0;
		for(int i=f[u];i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].v,c=e[i].c;
			if(dis[v]>dis[u]+c && e[i].f>0)
			{
				dis[v]=dis[u]+c;
				pre[v]=u;lst[v]=i;
				flow[v]=min(flow[u],e[i].f);
				if(!in[v]) in[v]=1,q.push(v);
			}
		}
	}
	return dis[t]<0;
}
int Abs(int x)
{
	return x>0?x:-x;
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			a[i][j]=read();
			if(a[i][j]==1 || a[i][j]==3) id1[i][j]=++cnt;
			if(a[i][j]==2 || a[i][j]==3) id2[i][j]=++cnt;
		}
	s=0;t=cnt+1;tot=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(a[i][j]==1 || a[i][j]==3) r[i][j]=read();
			if(a[i][j]==2 || a[i][j]==3) c[i][j]=read();
			if(a[i][j]==4) o[i][j]=read();
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(a[i][j]==1 || a[i][j]==3)
			{
				int x=read(),k=i+1;
				if(x==-1) x=inf;
				while(k<=n && a[k][j]==4)
					up[k++][j]=id1[i][j];
				k=k-i-1;
				ans+=Abs(k-r[i][j])*x;
				if(r[i][j]>k) add(s,id1[i][j],-x,r[i][j]-k);
				add(s,id1[i][j],x,inf);
			}
			if(a[i][j]==2 || a[i][j]==3)
			{
				int x=read(),k=j+1;
				if(x==-1) x=inf;
				while(k<=m && a[i][k]==4)
					down[i][k++]=id2[i][j];
				k=k-j-1;
				ans+=Abs(k-c[i][j])*x;
				if(c[i][j]>k) add(id2[i][j],t,-x,c[i][j]-k);
				add(id2[i][j],t,x,inf);
			}
			if(a[i][j]==4)
			{
				int x=read();
				if(x==-1) x=inf;
				ans+=Abs(o[i][j]-1)*x;
				if(o[i][j]>1) add(up[i][j],down[i][j],-x,o[i][j]-1);
				add(up[i][j],down[i][j],x,inf);
			}
		}
	while(bfs())
	{
		ans+=flow[t]*dis[t];
		int zy=t;
		while(zy!=s)
		{
			e[lst[zy]].f-=flow[t];
			e[lst[zy]^1].f+=flow[t];
			zy=pre[zy];
		}
	}
	for(int i=2;i<=tot;i+=2)
	{
		if(e[i].c==inf && e[i^1].f>0)
		{
			puts("-1");
			return 0;
		}
		if(e[i].c==-inf && e[i].f>0)
		{
			puts("-1");
			return 0;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
}