NOI2011 Day1

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兔农

题目描述：\(fib[1]=fib[2]=1, fib[i]=fib[i-2]+fib[i-1] (i\geq 3)\),若\(fib[i] \equiv 1(mod k)(i \geq 3)\),则\(fib[i]=fib[i]-1\)，已知\(k, P\)，求\(fib[n] mod P\)

solution：

先看一下当\(k=7\)时，\(fib[i] mod k\):（每行的最后一个数变为0）

1, 1, 2, 3, 5, 1
5, 5, 3, 1
3, 3, 6, 2, 1
2, 2, 4, 6, 3, 2, 5, 0, 5, 5, 3, 1
3, 3, 6, 2, 1
……

出现循环了，也就是说这是有循环节的，而且每一行都是一个斐波那契数列，由于每行的最后一个数为\(0\),下一行的第一个数变成了该行的倒数第二个数，下一行的第二个数与第一个数相同，构成新的斐波那契数列的首两项。

设每行首项为\(X\)，每一项除以\(X\)，就是原来的斐波那契数列。

令\(X*fib[i] \equiv 1 (mod k)\)成立的最小的\(i\)记为\(Len[X]\)，这就是以\(X\)为首项的长度，如果\(Len[x]\)不存在，则说明以后都不会再减一，之后就按照斐波那契数列去做就好了。

求\(Len[X]\)，就要求\(X\)的逆元，因为\(k\)不一定是质数，只好用扩展欧几里得求出\(fib[Len[X]]\)，从而求出\(Len[x]\)。

计算斐波那契数列时用到矩阵乘法，自己构造一下就好了。

这题的可行性在于一个结论：模\(k\)意义下的斐波那契数列的循环节\(\leq 6k\)

时间复杂度：\(O(6k)\)

智能车比赛

题目描述：给出\(n\)个矩形，第\(i\)个矩形区域的左下角和右上角坐标分别为\((x_{i,1},y_{i,1})\)和\((x_{i,2},y_{i,2})\), 保证\(x_{i,1}<x_{i,2}=x_{i+1,1},y_{i,1}<y_{i,2}\)，给出起点坐标与终点坐标，只能在矩形内行走，问起点到终点的最短路径。

solution：

只有相邻两个矩形的重边的端点是有用的，然后\(n^2\)连边，最短路。

时间复杂度：因算法而异

阿狸的打字机

题目描述：给出一串操作，包含小写字母或\('B','P'\)，小写字母表示在字符串末尾添加该字母（字符串一开始为空），\('B'\)为删去最后一个字母，\('P'\)为输出当前字符串。有若干个询问\((x, y)\)，问第\(y\)个输出的字符串包含多少个第\(x\)个输出的字符串。

solution：

容易想到AC自动机+fail-tree，然后把询问离线读入，按\(y\)从小到大排序。在fail-tree中，任意一个点的子树的字符串都包含该点所对应的字符串。

按照操作顺序模拟，将\(y\)到根的点\(+1\)（AC自动机），查找\(x\)的子树的和（fail-tree）即为答案。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)