T51071 Tony到死都想不出の数学题

T51071 Tony到死都想不出の数学题

自己摘的题出了数据挂一下链接

\(a, b\) 均为整数

设 \(M(a)\) 为满足 \((a + b) | ab\) 的 \(b\) 的个数， 求 \(M(a)\)

\(a <= 10^{9}\)

Solution

设有 \(n(a + b) = ab\)

则有 \(an + bn - ab = 0\)

两边加上 \(a^{2}\) 得 \(an +bn - ab + a^{2} = a^{2}\)

因式分解得 \((a - n)(a + b) = a^{2}\)

观察此式， 发现 \(0 < (a - n), (a +b) \in Z\)

故每对 \(n^{2}\) 的因子对应唯一一个 \(b\)

故答案为 \(a^{2}\) 的因数个数 - 1（减掉完全平方那个， 对应的 \(b\) 为 \(0\)）除以2， 即：$$\frac{d_{0}(a^{2}) - 1}{2}$$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#define LL long long
#define REP(i, x, y) for(int i = (x);i <= (y);i++)
using namespace std;
int RD(){
    int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
int a;
int get_numd(int x){
	int num = 0;
	REP(i, 1, x)
		if(x % i == 0)num++;
	return (num - 1);
	}
int main(){
	a = RD();
	printf("%d\n", get_numd(a));
	return 0;
	}