[COGS 2066]七十与十七

http://218.28.19.228/cogs/problem/problem.php?pid=2066

【题目描述】

七十君最近爱上了排序算法，于是Ta让十七君给Ta讲冒泡排序。

十七君给七十君讲完了冒泡排序以后，七十君回家苦思冥想，又创造了一种名

为七十排序的算法。下面是这个算法排序一个排列的过程：

首先从左到右扫描每个相邻数对。如果这两个数是逆序的，则将第二个数(也

就是小的数)放在整个排列的开头，其他数位置不变，并把计数器加一。如果

没有逆序的相邻数对了，就说明已经排好序了，算法终止。

七十君认为计数器的值反映了这个算法的运行时间。但十七君觉得七十君发明

的这个算法会很慢，所以他请你帮忙算算，对于所有长度为n的排列P，

 

的值，这里f(P)表示排列P运行算法结束时计数器的值。

【输入格式】

一行一个整数n。

【输出格式】

如果E(n)=a/b，求c使得

bc 三 a  (mod 10^9+7)

并输出，其中0≤c<10^9+7，如果e不存在输出-1。

【样例输入】

4

【样例输出】

250000005

【提示】

对于排列4 1 3 2，算法结束时计数器的值为5。

4 1 3 2，4和1形成逆序，将1放到排列最前方。

1 4 3 2，4和3形成逆序，将3放到排列最前方。

3 1 4 2，3和1形成逆序，将1放到排列最前方。

1 3 4 2，4和2形成逆序，将2放到排列最前方。

2 1 3 4，2和1形成逆序，将1放到排列最前方。

1 2 3 4，现在排列已经排序完毕。

E(4)=3.25。

数据范围与约定

对于20％的数据，n≤8。

对于40％的数据，n≤30。

对于60％的数据，n≤200。

对于1OO％的数据，n≤10^5。

      设$\sum_{P.len = N} f(P) = F(N)$。观察算法流程可以发现当扫描到第N个元素时，前N-1个元素一定有序，所以我们可以考虑递推求解F函数。现假设P为1到N的排列，最后一个元素为i，而我们已经事先花费$N * F(N-1) + N!$的时间，让所有N排列的前N-1个元素有序并将最后一个元素移至开头。
      现在处理一个长度为N的满足$A_1  = N, A_i = i-1(1 < i \leq N)$的排列A，设将它排序所需时间为g(N)。考虑这一过程，我们仍需先将这一排列的前N-1个元素排序，然后将最后一个元素($A_N = N-1$)移至开头，此时新序列的第N个元素已经就位，而前N-1个元素仍满足”排列A“的性质，再按此过程处理一下就可以了。从而有$$g(1) = 0, g(N) = g(N-1) + 1 + g(N-1)(N > 1)$$ 解出$g(N) = 2^{N-1} - 1$。
      那么我们就可以得到$$F(N) = N \times (F(N-1) + N!) + (N-1)! \times (\sum_{i = 1}^{N-1} g(i))$$那么$$E(N) = E(N-1) + \frac{2^{N-1} - 1}{N}$$ 把每轮的1/N改成N的乘法逆元即可。