Solution -「JOISC 2021」古老的机器

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  这是一道通信题。

  对于长度为一个 \(n\)，仅包含字符 X, Y, Z 的字符串 \(s\)，将其中 \(n\) 个字符按任意顺序删去，定义删除方案的权值为在子串 XYZ 中删除 Y 的次数。实现两个函数：

• void Anna(int N, std::vector<char> S)，获取字符串信息，传递不超过 \(7\times10^4\) 个 01 位用于通信；
• void Bruno(int N, int L, std::vector<int> A)，获取通信信息，给出权值最大的删除方案。

  \(n\le10^5\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  先看看怎么求最大权值。考虑当前最左侧 X 的位置 \(i\) 与最左侧 Z 的位置 \(j\)，若 \(j<i\)，显然删掉 \(j\) 无任何影响；否则考虑 \(i<k<j\)，\(s_k\) 必然取 X 或 Y。那么从 \(j-1\) 逆序删除到 \(i+1\)，最后删除掉 \(j\)，继续迭代。容易（真的容易）看出这就是最大化权值的方案。

  那么 Anna 需要告诉 Bruno 哪些信息呢？——唯一的一个 \(i\)，和若干 \(j\)。一个小小的压缩方式是，对于连续的 Z，仅保留最右端的。特别地，在标记 X 的 \(1\) 的后面强制补一个 \(0\) 站位，我们就把信息串转化为长度为 \(n+1\)，不存在连续 \(1\) 的数字串。每 \(W\) 为一段，利用 Fibonacci 数列求出每段的字典序编号，再转化为二进制输出，就能传递信息啦。

  观察标称可知，取 \(W=63\)，此时一段的总情况数接近 \(2^{44}\)，损失较小。运算过程当然是 \(\mathcal O(n)\) 的，信息长度也就比 \(7\times10^4\) 少一百来次。

\(\mathcal{Code}\)

• Anna.cpp

/* Clearink */

#include "Anna.h"
#include <vector>

#ifndef MY_REP_DEFINED
#define MY_REP_DEFINED
#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )
#endif

namespace {

typedef unsigned long long ULL;

const int MAXN = 1e5, W = 63, B = 44;
int n;
std::vector<char> s;
bool key[MAXN + W + 5];
ULL fib[W + 5];

inline void mark() {
    int i = 0;
    while ( i < n && s[i] != 'X' ) ++i;
    key[i] = true;
    for ( int j = i + 1; j < n; ++j ) {
        while ( j < n && s[j] != 'Z' ) ++j;
        while ( j + 1 < n && s[j + 1] == 'Z' ) ++j;
        if ( i >= n || j >= n ) break;
        key[j + 1] = true;
    }
}

inline void encode() {
    fib[0] = 1, fib[1] = 2;
    rep ( i, 2, W ) fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];

    for ( int l = 0; l <= n; l += W ) {
        ULL msg = 0;
        rep ( i, l, l + W - 1 ) if ( key[i] ) {
            msg += fib[repi - i];
        }
        rep ( i, 0, B - 1 ) Send( msg >> i & 1 );
    }
}

} // namespace.

void Anna( int n, std::vector<char> s ) {
    ::n = n, ::s = s;
    mark(), encode();
}

• Bruno.cpp

/* Clearink */

#include "Bruno.h"
#include <vector>

#ifndef MY_REP_DEFINED
#define MY_REP_DEFINED
#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )
#endif

namespace {

typedef long long ULL;

const int MAXN = 1e5, W = 63, B = 44;
ULL fib[W + 5];
int n;
std::vector<int> msg;
bool key[MAXN + W + 5];

inline void decode() {
    fib[0] = 1, fib[1] = 2;
    rep ( i, 2, W ) fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];

    for ( int l = 0; l < msg.size(); l += B ) {
        ULL val = 0;
        per ( i, l + B - 1, l ) val = val << 1 | msg[i];
        rep ( i, l / B * W, i + W - 1 ) {
            if ( val >= fib[repi - i] ) {
                key[i] = true, val -= fib[repi - i];
            }
        }
    }
}

inline void solve() {
    int i = 0;
    while ( i < n && !key[i] ) Remove( i++ );
    if ( i == n ) return ;
    for ( int j = i + 1, las = i; j < n; ) {
        while ( j < n && !key[j + 1] ) ++j;
        per ( k, j - 1, las + 1 ) Remove( k );
        if ( j < n ) Remove( las = j++ );
    }
    Remove( i );
}

} // namespace.

void Bruno( int n, int l, std::vector<int> msg ) {
    ::n = n, ::msg = msg;
    decode(), solve();
}