CF1547A Shortest Path with Obstacle 题解

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给定两个在二维平面上的网格 \(A(x_A,y_A)\) 和 \(B(x_B,y_B)\)，另外，还有一个不可通过的网格 \(F(x_F,y_F)\)。你需要求出在不经过 \(F\) 的情况下，通过若干次上下左右的移动，从 \(A\) 走到 \(B\) 的最短路径长度。

数据范围：\(t\) 组数据，\(1\leqslant t\leqslant 10^4\)，\(1\leqslant x_A,y_A,x_B,y_B,x_F,y_F\leqslant 1000\)。

Solution

我们不妨先抛开 \(F\) 不谈，先想想，如果直接问你从 \(A\) 走到 \(B\) 的最短路径的话，显然答案就是 \(|x_A-x_B|+|y_A-y_B|\)（顺便说一句，这种距离的表示就是著名的曼哈顿距离）。

然后我们再考虑一下，\(F\) 在什么情况下会影响到原来的答案呢？

如果 \(A,B\) 即不在同一行也不在同一列，那么显然，\(F\) 是并不会影响上面的答案的，因为这样我们可以任意选择转弯的位置以避开 \(F\) 点而不影响最终的最短路径长度。

如果 \(A,B\) 在同一行，即 \(x_A=x_B\)，设 \(y_{\min}=\min\{y_A,y_B\}\)，\(y_{\max}=\max\{y_A,y_B\}\)。此时的 \(F\) 如果 \(x_F=x_A=x_B\) 且 \(y_{\min}<y_F<y_{\max}\)，那么我们需要绕过这个点，从而比原来的路径要多走 \(2\) 个单位的距离。否则 \(F\) 也不会影响最终的答案。

如果 \(A,B\) 在同一列，即 \(y_A=y_B\)，设 \(x_{\min}=\min\{x_A,x_B\}\)，\(x_{\max}=\max\{x_A,x_B\}\)。此时的 \(F\) 如果 \(y_F=y_A=y_B\) 且 \(x_{\min}<x_F<x_{\max}\)，那么我们需要绕过这个点，从而比原来的路径要多走 \(2\) 个单位的距离。否则 \(F\) 也不会影响最终的答案。

那么这道题目就做完了。

Code

int main() {
	MT {
		int xa = Rint, ya = Rint, xb = Rint, yb = Rint, xf = Rint, yf = Rint;
		if(xa == xb && xa == xf && yf >= min(ya, yb) && yf <= max(ya, yb)) println(abs(yb - ya) + 2);
		else if(ya == yb && ya == yf && xf >= min(xa, xb) && xf <= max(xa, xb)) println(abs(xb - xa) + 2);
		else println(abs(xb - xa) + abs(yb - ya));
	}
	return 0;
}