CF1156F Card Bag
题意简述:有 \(n\) 张卡牌,每张卡牌有数字 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)。现在随机抽取卡牌,不放回,设本次抽到的卡牌为 \(x\),上次抽到的卡牌为 \(y\),若 \(x=y\) 则游戏胜利;若 \(x<y\) 则输掉游戏;若 \(x>y\) 则游戏继续。求获胜概率。
\(a_i\leq n\leq 5\times 10^3\)。
下文认为 \(a_i\) 与 \(n\) 同阶。
不难发现我们只关心卡牌上的数字,所以开个桶维护每个数出现了几次。又因为只能从小往大抽,即无后效性,所以考虑 DP。
设 \(f_{i,j}\) 为 共抽了 \(j\) 次,每个数最多抽到一次,最后一次抽到数字 \(i\) 的概率。
首先考虑如何转移:我们设数字 \(i\) 共有 \(sz_i\) 个,那么不难列出转移方程
\]
,表示 在 \([1,i-1]\) 中抽了 \(j-1\) 个数 的概率乘上 抽到数字 \(i\) 的概率。这样转移的时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n^3)\),无法接受。
如果设 \(s_{i,j}\) 为 在 \(i\) 中抽了 \(j\) 个数 的概率,则有
\]
,则转移方程可变形为
\]
。预处理逆元做到时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\),可以接受。
这实际上就是具有实际意义的前缀和优化。
最后使用滚动数组可以将空间优化到 \(\mathcal{O}(n)\)。
需要注意初始值 \(f_{0,0}=1\)。
const int N=5e3+5;
ll n,ans,sz[N],f[2][N],s[2][N];
int main(){
init(),cin>>n,s[0][0]=s[1][0]=1;
for(int i=1,a;i<=n;i++)cin>>a,sz[a]++;
for(int i=1,p=1;i<=n;i++,p^=1){
for(int j=1;j<=i;j++){
f[p][j]=s[p^1][j-1]*sz[i]%mod*iv[n-j+1]%mod;
ans=(ans+s[p^1][j-1]*sz[i]*(sz[i]-1)%mod*iv[n-j+1]%mod*iv[n-j])%mod;
s[p][j]=(s[p^1][j]+f[p][j])%mod;
}
} cout<<ans<<endl;
return 0;
}
CF1156F Card Bag的更多相关文章
- Codeforces 1156F Card Bag(概率DP)
设dp[i][j]表示选到了第i张牌,牌号在j之前包括j的概率,cnt[i]表示有i张牌,inv[i]表示i在mod下的逆元,那我们可以考虑转移,dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*cnt[j ...
- Educational Codeforces Round 64 部分题解
Educational Codeforces Round 64 部分题解 不更了不更了 CF1156D 0-1-Tree 有一棵树,边权都是0或1.定义点对\(x,y(x\neq y)\)合法当且仅当 ...
- DP 做题记录 II.
里面会有一些数据结构优化 DP 的题目(如 XI.),以及普通 DP. *I. P3643 [APIO2016]划艇 题意简述:给出序列 \(a_i,b_i\),求出有多少序列 \(c_i\) 满足 ...
- Educational Codeforces Round 64 (Rated for Div. 2)题解
Educational Codeforces Round 64 (Rated for Div. 2)题解 题目链接 A. Inscribed Figures 水题,但是坑了很多人.需要注意以下就是正方 ...
- Educational Codeforces Round 64 (Rated for Div. 2) A,B,C,D,E,F
比赛链接: https://codeforces.com/contest/1156 A. Inscribed Figures 题意: 给出$n(2\leq n\leq 100)$个数,只含有1,2,3 ...
- Educational Codeforces Round 64 选做
感觉这场比赛题目质量挺高(A 全场最佳),难度也不小.虽然 unr 后就懒得打了. A. Inscribed Figures 题意 给你若干个图形,每个图形为三角形.圆形或正方形,第 \(i\) 个图 ...
- HDOJ 4336 Card Collector
容斥原理+状压 Card Collector Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/O ...
- HDU 4336:Card Collector(容斥原理)
http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4336 Card Collector Special Judge Problem Descriptio ...
- Card Collector(HDU 4336)
Card Collector Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)To ...
随机推荐
- 提升使用Linux效率的小操作
提升使用Linux效率的小操作 保存更新? 本文记录了个人在使用Linux时觉得好用的一些快捷方式/功能: 为那种知道了能提高效率,但是的不知道也并没有影响的操作. 历史命令 该操作用于快速查看已使用 ...
- 正则表达式: NFA引擎匹配原理
NFA引擎匹配原理 1 为什么要了解引擎匹配原理 一个个音符杂乱无章的组合在一起,弹奏出的或许就是噪音,同样的音符经过作曲家的手,就可以谱出非常动听的乐曲,一个演奏者同样可以照着乐谱奏出动 ...
- Scrum Meeting 0529
零.说明 日期:2021-5-29 任务:简要汇报七日内已完成任务,计划后两日完成任务 一.进度情况 组员 负责 七日内已完成的任务 后两日计划完成的任务 困难 qsy PM&前端 完成后端管 ...
- Scrum Meeting 最终总结
[软工小白菜]Scrum Meeting 最终总结 2020/4/28 一.会议内容 1.工作及计划 组员代号 完成的工作 明日计划 炎龙 1.整合了整个程序,生成了apk并且上传审核 无 风鹰 1. ...
- android tcp通讯
Andoird TCP通讯 前言 最近在写一个即时通讯的项目,有一些心得,写出来给大家分享指正一下. 简单描述一下这个项目: 实时查询车辆运行状态的项目,走TCP通迅. 接口采用GZIP压缩. 后台是 ...
- camera HSYNC:VSYNC
HSYNC:行锁存,换行信号VSYNC:祯锁存,换页信号 320×240的屏,每一行需要输入320个脉冲来依次移位.锁存进一行的数据,然后来个HSYNC 脉冲换一行:这样依次输入240行之后换行同时来 ...
- 小米多模网关接入Home Assistant ZNDMWG03LM
一.小米zigbee网关使用 先下载米家app,打开手机蓝牙,登陆点"我的"界面,将网关设备插上电源,橙灯闪烁,点击蓝牙网关等待弹窗提示连接,选择连接路由器(需2.4GHz),输入 ...
- Linux系统编程之进程概念
注:本文部分图片来源于网络,如有侵权,请告知删除 1. 什么是进程? 在了解进程概念之前,我们需要先知道程序的概念. 程序,是指编译好的二进制文件,这些文件在磁盘上,并不占用系统资源. 进程,指的是一 ...
- 计算机网络漫谈之OSI七层模型和TCP/IP四层模型
在 什么是网络? 中,你已经知道计算机网络是物理连接的"局域网"和工作于这个局域网上的"网络协议",并且我们的重心是网络协议.有关网络协议,按照目前的分层方式主 ...
- TypeScript 泛型及应用
TypeScript 泛型及应用 一.泛型是什么 二.泛型接口 三.泛型类 四.泛型约束 4.1 确保属性存在 4.2 检查对象上的键是否存在 五.泛型参数默认类型 六.泛型条件类型 七.泛型工具类型 ...