UOJ #11 - 【UTR #1】ydc的大树（换根 dp）

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Emmm……这题似乎做法挺多的，那就提供一个想起来写起来都不太困难的做法吧。

首先不难想到一个时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\) 的做法：对于每个黑点我们以它为根求出离它距离最远的点集 \(S\)，那么一个白点能够摧毁这个黑点当且仅当这个白点在黑点到点集 \(S\) 中的点的 \(\text{LCA}\) 的路径上。这样我们就可以求出所有白点的答案了。

考虑优化这个过程，注意“以每个点为根”一脸可用换根 \(dp\) 优化的亚子，因此考虑换根 \(dp\)，如果单纯地求到每个点距离最远的黑点那你肯定会求的欸（yyq 附体），直接一遍常规的换根 \(dp\) 就完事了。不过此题还需求 \(\text{LCA}\)，因此考虑以下做法，我们先以 \(1\) 为根一遍 DFS，对于每个点 \(x\) 求出以 \(x\) 为根的子树内里 \(x\) 最远的点的 \(\text{LCA}\)，然后我们再额外记录两个数组 \(dis\_out_x\) 表示去掉以 \(x\) 为根的子树内剩余部分离 \(x\) 最远的黑点离 \(x\) 的距离，以及 \(lca\_out_i\) 表示它们的 \(\text{LCA}\)，怎样求这两个数组呢？就按照第二遍 DFS 的套路从上往下更新，当 DFS 到 \(x\) 时将 \(x\) 的每个子树的信息压入一个 multiset，并枚举 \(x\) 的每个儿子 \(y\)，将 \(y\) 的信息从 multiset 中暂时删除，如果 multiset 中距离最大值和次大值相等那么 \(lca\_out_y\) 就是 \(x\)，否则 \(lca\_out_y\) 就是 multiset 中最大值对应的 \(\text{LCA}\)，最后更新答案时对于每个 \(x\) 看它子树内和子树外黑点距离其的最大值，哪边大那个 \(\text{LCA}\) 就属于那边，如果相等那么 \(\text{LCA}\) 就是 \(x\)。

最后统计答案树上差分即可，时间复杂度 \(n\log n\)。

const int MAXN=1e5;
const int LOG_N=17;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,hd[MAXN+5],to[MAXN*2+5],val[MAXN*2+5],nxt[MAXN*2+5],ec=0;bool is[MAXN+5];
void adde(int u,int v,int w){to[++ec]=v;val[ec]=w;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
int fa[MAXN+5][LOG_N+2],dep[MAXN+5],dis[MAXN+5],lca_in[MAXN+5];
int dis_out[MAXN+5],lca_out[MAXN+5];
int mark[MAXN+5];
void dfs1(int x=1,int f=0){
	dis[x]=(is[x]^1)*(-INF);lca_in[x]=x;fa[x][0]=f;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e],z=val[e];if(y==f) continue;
		dep[y]=dep[x]+1;dfs1(y,x);
		if(dis[y]+z>dis[x]) dis[x]=dis[y]+z,lca_in[x]=lca_in[y];
		else if(dis[y]+z==dis[x]) lca_in[x]=x;
	} /*printf("%d %d %d\n",x,dis[x],lca_in[x]);*/
}
int getlca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y]) x^=y^=x^=y;
	for(int i=LOG_N;~i;i--) if(dep[x]-(1<<i)>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if(!(x^y)) return x;
	for(int i=LOG_N;~i;i--) if(fa[x][i]^fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
void dfs2(int x=1,int f=0){
	multiset<pii> st;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e],z=val[e];
		if(y==f) st.insert(mp(dis_out[x],lca_out[x]));
		else st.insert(mp(dis[y]+z,lca_in[y]));
	} if(is[x]) st.insert(mp(0,x));
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e],z=val[e];if(y==f) continue;
		st.erase(st.find(mp(dis[y]+z,lca_in[y])));
		if(st.empty()) dis_out[y]=(is[x])?z:(-INF),lca_out[y]=(is[x])?x:0;
		else{
//			printf("Node %d\n",y);
			pii p=*st.rbegin();st.erase(st.find(p));dis_out[y]=z+p.fi;
//			printf("%d %d\n",p.fi,p.se);
			if(st.empty()||(*st.rbegin()).fi<p.fi) lca_out[y]=p.se;
			else lca_out[y]=x;st.insert(p);
		} st.insert(mp(dis[y]+z,lca_in[y]));dfs2(y,x);
	}
}
void dfs3(int x=1,int f=0){
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f) continue;
		dfs3(y,x);mark[x]+=mark[y];
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1,x;i<=m;i++) scanf("%d",&x),is[x]=1;
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),adde(u,v,w),adde(v,u,w);dis_out[1]=-INF;
	dfs1();for(int i=1;i<=LOG_N;i++) for(int j=1;j<=n;j++) fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];dfs2();
	for(int i=1;i<=n;i++) if(is[i]){
		int y=(dis[i]==dis_out[i])?i:((dis[i]<dis_out[i])?lca_out[i]:lca_in[i]);
//		printf("%d %d %d %d\n",i,dis[i],dis_out[i],y);
		int z=getlca(i,y);mark[i]++;mark[y]++;mark[z]--;mark[fa[z][0]]--;
	} dfs3();int mx=0,cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!is[i]) chkmax(mx,mark[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) cnt+=(!is[i]&&mark[i]==mx);
	printf("%d %d\n",mx,cnt);
	return 0;
}